Bài tập nâng cao · Bài 34
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 34
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$ và điểm $A(1;2;3)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa d và cách điểm A một khoảng cách lớn nhất. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $(P)$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d, gọi K là hình chiếu vuông góc của A lên $(P)$. Do đó khoảng cách từ A đến $(P)$ là: $d\left( A;(P) \right)=AK.$
Ta có $d:\left\{ \begin{array}{l} x=-2t-1 \\ y=t \\ z=t+1 \end{array} \right.$. Vì $H\in d$ nên $H\left( -2t-1;t;t+1 \right)$.
$\overset\rightarrow { AH }\left( -2t-2;t-2;t-2 \right)$, VTCP của đường thẳng d là $\overset\rightarrow { u_{d}}\left( -2;1;1 \right)$.
$\overset\rightarrow { AH }\perp \overset\rightarrow { u_{d}}\Leftrightarrow \overset\rightarrow { AH }.\overset\rightarrow { u_{d}}=0\Leftrightarrow -2(-2t-2)+t-2+t-2=0\Leftrightarrow t=0$.
Do đó $H\left( -1;0;1 \right)$ và $\overset\rightarrow { AH }\left( -2;-2;-2 \right)\Rightarrow AH=2\sqrt{3}$ (không đổi).
Vì $AK\leq AH$( đường vuông góc luôn ngắn hơn đường xiên) nên $AK$ lớn nhất khi $AK=AH$ hay $K≡H$.
Ta có $\overset\rightarrow { AK }=\overset\rightarrow { AH }=(-2;-2;-2)=-2(1;1;1)$. Vậy, một vec tơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overset\rightarrow { n }=(1;1;1)$.