Bài tập nâng cao · Bài 33
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 33
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 2;5;3 \right)$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-2}{2}$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng chứa $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\left( P \right)$ là lớn nhất. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $\left( P \right)$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $\overset\rightarrow { n }=\left( a;b;c \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$, với $a^{2} +b^{2} +c^{2} \neq 0$.
Điểm $M\left( 1;0;2 \right)\in d\Rightarrow M\in \left( P \right)$.
Phương trình của $\left( P \right):ax+by+cz-\left( a+2c \right)=0$.
Một vectơ chỉ phương của $d$ là $\overset\rightarrow { u }=\left( 2;1;2 \right)\Rightarrow \overset\rightarrow { n }\perp \overset\rightarrow { u }\Leftrightarrow \overset\rightarrow { n }.\overset\rightarrow { u }=0\Leftrightarrow 2a+b+2c=0$.
$\Rightarrow b=-\left( 2a+2c \right)\Rightarrow d\left ( { A,\left( P \right) } \right )=\frac{\mid a+5b+c\mid }{\sqrt{a^{2} +b^{2} +c^{2} } }=\frac{9\mid a+c\mid }{\sqrt{a^{2} +c^{2} +4\left( a+c \right)^{2} } }$.
Ta có $\left( a+c \right)^{2} \leq 2\left( a^{2} +c^{2} \right)\Leftrightarrow \frac{\left( a+c \right)^{2}}{2}\leq a^{2} +c^{2}$ với $\forall a,c\in \mathbb{R}.$
Suy ra: $a^{2} +c^{2} +4\left( a+c \right)^{2} \geq \frac{\left( a+c \right)^{2}}{2}+4\left( a+c \right)^{2} =\frac{9}{2}\left( a+c \right)^{2} .$
Do đó $d\left ( { A,\left( P \right) } \right )=\frac{9\mid a+c\mid }{\sqrt{a^{2} +c^{2} +4\left( a+c \right)^{2} } }\leq \frac{9\mid a+c\mid }{\sqrt{\frac { 9} { 2 }\left( a+c \right)^{2} } }=\frac{9\mid a+c\mid \sqrt{2}}{3\mid a+c\mid }=3\sqrt{2}.$
$\Rightarrow Max\,d\left ( { A,\left( P \right) } \right )=3\sqrt{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=c \\ b=-4a \end{array} \right.$. Chọn $a=c=1\Rightarrow b=-4.$
Phương trình $\left( P \right):x-4y+z-3=0\Rightarrow d\left ( { O,\left( P \right) } \right )=\frac{1}{\sqrt{2} }.$
Điểm $M\left( 1;0;2 \right)\in d\Rightarrow M\in \left( P \right)$.
Phương trình của $\left( P \right):ax+by+cz-\left( a+2c \right)=0$.
Một vectơ chỉ phương của $d$ là $\overset\rightarrow { u }=\left( 2;1;2 \right)\Rightarrow \overset\rightarrow { n }\perp \overset\rightarrow { u }\Leftrightarrow \overset\rightarrow { n }.\overset\rightarrow { u }=0\Leftrightarrow 2a+b+2c=0$.
$\Rightarrow b=-\left( 2a+2c \right)\Rightarrow d\left ( { A,\left( P \right) } \right )=\frac{\mid a+5b+c\mid }{\sqrt{a^{2} +b^{2} +c^{2} } }=\frac{9\mid a+c\mid }{\sqrt{a^{2} +c^{2} +4\left( a+c \right)^{2} } }$.
Ta có $\left( a+c \right)^{2} \leq 2\left( a^{2} +c^{2} \right)\Leftrightarrow \frac{\left( a+c \right)^{2}}{2}\leq a^{2} +c^{2}$ với $\forall a,c\in \mathbb{R}.$
Suy ra: $a^{2} +c^{2} +4\left( a+c \right)^{2} \geq \frac{\left( a+c \right)^{2}}{2}+4\left( a+c \right)^{2} =\frac{9}{2}\left( a+c \right)^{2} .$
Do đó $d\left ( { A,\left( P \right) } \right )=\frac{9\mid a+c\mid }{\sqrt{a^{2} +c^{2} +4\left( a+c \right)^{2} } }\leq \frac{9\mid a+c\mid }{\sqrt{\frac { 9} { 2 }\left( a+c \right)^{2} } }=\frac{9\mid a+c\mid \sqrt{2}}{3\mid a+c\mid }=3\sqrt{2}.$
$\Rightarrow Max\,d\left ( { A,\left( P \right) } \right )=3\sqrt{2}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=c \\ b=-4a \end{array} \right.$. Chọn $a=c=1\Rightarrow b=-4.$
Phương trình $\left( P \right):x-4y+z-3=0\Rightarrow d\left ( { O,\left( P \right) } \right )=\frac{1}{\sqrt{2} }.$