Bài tập nâng cao · Bài 31
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 31
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( 3\,;-1\,;0 \right)$ và đường thẳng $d:\frac{x-2}{-1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-1}{1}$. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\left( \alpha \right)$ lớn nhất có phương trình là
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ lên $\left( \alpha \right)$ và $d$. Khi đó ta có $AH\leq AK$.
Vì $K\in d$ nên $K\left( 2-t\,;-1+2t\,;\,1+t \right)$$\Rightarrow \overset\rightarrow { AK }=\left( -1-t\,;\,2t\,;\,1+t \right)$.
Do $AK\perp d$ nên ta có $-\left( -1-t \right)+2.2t+1+t=0$$\Leftrightarrow t=-\frac{1}{3}$. Khi đó $\overset\rightarrow { AK }=\left( -\frac{2}{3}\,;-\frac{2}{3}\,;\,\frac{2}{3} \right)$.
Khoảng cách từ $A$ đến $\left( \alpha \right)$ lớn nhất khi và chỉ khi $AH=AK$. Do đó $\left( \alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overset\rightarrow { n }=\left( 1\,;1\,;-1 \right)$. Vậy $\left( \alpha \right):$ $1\left( x-2 \right)+1\left( y+1 \right)-1\left( z-1 \right)=0$$\Leftrightarrow x+y-z=0$.
Vẫn là đánh giá bất đẳng thức $AH\leq AK$ nói trên, nhưng bài toán sau đây lại phát biểu hơi khác một chút.
Vì $K\in d$ nên $K\left( 2-t\,;-1+2t\,;\,1+t \right)$$\Rightarrow \overset\rightarrow { AK }=\left( -1-t\,;\,2t\,;\,1+t \right)$.
Do $AK\perp d$ nên ta có $-\left( -1-t \right)+2.2t+1+t=0$$\Leftrightarrow t=-\frac{1}{3}$. Khi đó $\overset\rightarrow { AK }=\left( -\frac{2}{3}\,;-\frac{2}{3}\,;\,\frac{2}{3} \right)$.
Khoảng cách từ $A$ đến $\left( \alpha \right)$ lớn nhất khi và chỉ khi $AH=AK$. Do đó $\left( \alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overset\rightarrow { n }=\left( 1\,;1\,;-1 \right)$. Vậy $\left( \alpha \right):$ $1\left( x-2 \right)+1\left( y+1 \right)-1\left( z-1 \right)=0$$\Leftrightarrow x+y-z=0$.
Vẫn là đánh giá bất đẳng thức $AH\leq AK$ nói trên, nhưng bài toán sau đây lại phát biểu hơi khác một chút.