Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 30

Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên đường thẳng $d$. Ta suy ra $H\left( 1;1;1 \right)$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua điểm $A$ và $\left( P \right)$ song song với đường thẳng $d$. Gọi $K$ là hình chiếu của $H$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$. Do $d \parallel \left( P \right)$ nên ta có $d\left ( { d,\left( P \right) } \right )=d\left ( { H,\left( P \right) } \right )=HK$.
Ta luôn có bất đẳng thức $HK\leq HA$. Như vậy khoảng cách từ $\left( d \right)$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất bằng $AH$. Và khi đó $\left( P \right)$ nhận $\overset\rightarrow { AH }=\left( -1;2;3 \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
Do $\left( P \right)$ đi qua $A\left( 2;-1;-2 \right)$ nên ta có phương trình của $\left( P \right)$ là: $x-2y-3z-10=0$.
Do đó $\left( P \right)$ vuông góc với mặt phẳng có phương trình: $3x+z+2=0$.