Bài tập nâng cao · Bài 29
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 29
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 1;1;1 \right)$ và mặt phẳng $(P):x+2y=0$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $A$, song song với $(P)$ và cách điểm $B\left( -1;0;2 \right)$ một khoảng ngắn nhất. Hỏi $\Delta$ nhận vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương ?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $(Q)$ chứa $\Delta$ và song song với $(P)$. Suy ra $(Q)$ có phương trình: $x-1+2(y-1)=0\Leftrightarrow x+2y-3=0$.
Khi đó $d\left( B;\Delta \right)_{min}=BH$ với $H$ là hình chiếu của $B$ lên mặt phẳng $(Q)$.
Đường thẳng $BH$ đi qua $B$, vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x=-1+t \\ y=2t \\ z=2 \end{array} \right.,t\in\mathbb{R}$.
Tọa độ giao điểm $H$ của đường thẳng $BH$ và mặt phẳng $(Q)$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=-1+t \\ y=2t \\ z=2 \end{array} \right. \\ x+2y-3=0 \end{array} \right.$. Giải hệ trên ta được $H\left( -\frac{1}{5};\frac{8}{5};2 \right)$.
Do đó $\Delta$ là đường thẳng $AH$ có $\overset\rightarrow { AH }=\left( \frac{6}{5};-\frac{3}{5};-1 \right)$.
Suy ra $\overset\rightarrow { u }=\left( 6;-3;-5 \right)$ cũng là một vecto chỉ phương của $\Delta$.
Khi đó $d\left( B;\Delta \right)_{min}=BH$ với $H$ là hình chiếu của $B$ lên mặt phẳng $(Q)$.
Đường thẳng $BH$ đi qua $B$, vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x=-1+t \\ y=2t \\ z=2 \end{array} \right.,t\in\mathbb{R}$.
Tọa độ giao điểm $H$ của đường thẳng $BH$ và mặt phẳng $(Q)$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=-1+t \\ y=2t \\ z=2 \end{array} \right. \\ x+2y-3=0 \end{array} \right.$. Giải hệ trên ta được $H\left( -\frac{1}{5};\frac{8}{5};2 \right)$.
Do đó $\Delta$ là đường thẳng $AH$ có $\overset\rightarrow { AH }=\left( \frac{6}{5};-\frac{3}{5};-1 \right)$.
Suy ra $\overset\rightarrow { u }=\left( 6;-3;-5 \right)$ cũng là một vecto chỉ phương của $\Delta$.