Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 28

Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\overset\rightarrow { u }=\left( 0;\,3;\,-2 \right)$.
Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overset\rightarrow { n }=\left( 1;\,1;\,-1 \right)$.
Vì $\overset\rightarrow { u }.\overset\rightarrow { n }=0.1+3.1+\left( -2 \right).\left( -1 \right)=5\neq 0$ nên $d$ cắt $\left( \alpha \right)$.
Gọi $d_{1}$ là đường thẳng đi qua $M$ và $d_{1}$//$d$, suy ra $d_{1}$ có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} x=3 \\ y=1+3t \\ z=1-2t \end{array} \right.$.
Lấy $N\left( 3;\,4;\,-1 \right)\in d_{1}$. Gọi $K$, $H$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $N$ trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và đường thẳng $\Delta$.
Ta có: $\widehat { \left( d,\Delta \right) }= \widehat { NMH }$ và $\sin \widehat { NMH }=\frac{NH}{MN}\geq \frac{NK}{MN}.$
Do vậy $\widehat { \left( d,\Delta \right) }$ nhỏ nhất khi $K≡H$ hay $\Delta$ là đường thẳng $MK$.
Đường thẳng $NK$ có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} x=3+t \\ y=4+t \\ z=-1-t \end{array} \right.$.
Tọa độ điểm $K$ ứng với $t$ là nghiệm của phương trình:
$\left( 3+t \right)+\left( 4+t \right)-\left( -1-t \right)-3=0\Leftrightarrow t=-\frac{5}{3}$. Suy ra $K\left( \frac{4}{3};\,\frac{7}{3};\,\frac{2}{3} \right)$.
Vậy $\Delta$ đi qua $M(3;1;1)$ và có vectơ chỉ phương $(-5;4;-1)$, nên $\Delta:\dfrac{x-3}{-5}=\dfrac{y-1}{4}=\dfrac{z-1}{-1}$.