Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 1;2;-3 \right)$, $B\left( -2;-2;1 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$: $2x+2y-z+9=0$. Gọi $M$ là điểm thay đổi trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ sao cho $M$ luôn nhìn đoạn $AB$ dưới một góc vuông. Xác định phương trình đường thẳng $MB$ khi $MB$ đạt giá trị lớn nhất.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/12-CD21. PHUONG TRINH DUONG THANG/F. BAI TAP NANG CAO/image885.png] Ta có: $2.\left( -2 ight)+2.\left( -2 ight)-1+9=0$$\Rightarrow B\in \left( \alpha ight)$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $\left( \alpha ight)$ thì $AH\perp MB$, $AM\perp MB$$\Rightarrow MH\perp MB$ $\Rightarrow MB\leq BH$. Dấu bằng xảy ra khi $M≡H$, lúc đó $M$ là hình chiếu của $A$ trên $\left( \alpha ight)$. Gọi $H\left( x;y;z ight)$, $\oversetightarrow { AH }=\left( x-1;y-2;z+3 ight)$. Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2x+2y-z+9=0 \ \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{-1} \end{array} ight.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x+2y-z=-9 \ x-y=-1 \ x+2z=-5 \end{array} ight.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=-3 \ y=-2 \ z=-1 \end{array} ight.$ $\Rightarrow M\left( -3;-2;-1 ight)$$\Rightarrow \oversetightarrow { MB }=\left( 1;0;2 ight)$$\Rightarrow MB:\left\{ \begin{array}{l} x=-2+t \ y=-2 \ z=1+2t \end{array} ight.$.

Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 27