Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 26

$\Delta$

$d:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{2-z}{1}$ có VTCP $\overset\rightarrow { u }=\left( 1;-2;-1 \right)$.
$\left( Q \right):2x-y-2z-2=0$ có VTPT $\overset\rightarrow { n }=\left( 2;-1;-2 \right)$.
Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi $d$ và $\left( Q \right)$, ta có $\sin \alpha =\left | { \cos \left( \overset\rightarrow { u },\overset\rightarrow { n } \right) } \right |=\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Từ hình vẽ, ta có $\left ( { d,\left( P \right) } \right )= \widehat { MBH }$ và $\left ( { \left( P \right),\left( Q \right) } \right )= \widehat { MCH }$.
Ta thấy $\sin \widehat { MCH }=\frac{MH}{MC}\geq \frac{MH}{MB}=\frac{\sqrt{6}}{3}$.
Vậy góc $\left ( { \left( P \right),\left( Q \right) } \right )= \widehat { MCH }$ nhỏ nhất khi $\sin \widehat { MCH }=\frac{\sqrt{6}}{3}$ hay $\cos \widehat { MCH }=\frac{\sqrt{3}}{3}$
*Viết phương trình mặt phẳng (P)
-CÁCH 1:
Mặt phẳng $\left( P \right):Ax+By+Cz+D=0$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { n_{ \left( Q \right) } }.\overset\rightarrow { u }=0 \\ \cos \left ( { \overset\rightarrow { n },\overset\rightarrow { n_{ \left( Q \right) } } } \right )=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A-2B-C=0 \\ \frac{\left|2A-B-2C\right|}{3\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{3} \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A=2B+C \\ \left| 3B \right|=\sqrt{3\left( 2B+C \right)^{2} +B^{2} +C^{2} } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A=2B+C \\ 6B^{2} +6C^{2} +12BC=0 \left( 1 \right) \end{array} \right.$
Nếu $B=0$ suy ra $A=C=0$ loại.
Nếu $B\neq 0$ từ $\left( 1 \right)$ suy ra $\left( \frac{C}{B} \right)^{2} +2\frac{C}{B}+1=0\Leftrightarrow \frac{C}{B}=-1\Rightarrow C=-B$ suy ra $A=B$.
Mặt phẳng $\left( P \right):Bx+By-Bz+D=0$ đi qua điểm $N\left( 0;-1;2 \right)\in d$ suy ra $D=3B$.
Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z+3=0$. Suy ra $d\left ( { A;\left( P \right) } \right )=\sqrt{3}$.
-CÁCH 2
Gọi $\Delta =(P)∩(Q)$ thì góc giữa $(P)$ và $(Q)$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\Delta \perp d$. Do đó, mặt phẳng (P) thỏa đề bài là mặt phẳng chứa $d$ và cắt (Q) theo giao tuyến $\Delta$ sao cho $\Delta \perp d$.
$\centerdot \left\{ \begin{array}{l} \Delta \subset (Q) \\ \Delta \perp d \end{array} \right.\Rightarrow \Delta$ nhận ${ \rm{ u } }_{ \Delta } =\left[ u_{d},n_{Q}\right]$ làm vec tơ chỉ phương.
$\centerdot (Q)$ chứa $d$ và $\Delta$$\Rightarrow (P)$ qua $M(0;-1;2)\in d$ và nhận $n=\left[ u_{d},u_{ \Delta } \right]=(6;6;-6)$ làm vectơ
pháp tuyến $\Rightarrow (P):x+y-z+3=0.$ Vậy $d\left ( { A;\left( P \right) } \right )=\sqrt{3}$.