Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 25

Cách 1:
Ta có $d\left ( { A;\left( P \right) } \right )=\frac{\left| m-1+1+2m-1 \right|}{\sqrt{\left( m-1 \right)^{2} +1+m^{2} } }=\sqrt{\frac{\left( 3m-1 \right)^{2}}{2\left( m^{2} -m+1 \right) } }$.
Xét $f\left( m \right)=\frac{\left( 3m-1 \right)^{2}}{2\left( m^{2} -m+1 \right) }\Rightarrow f'\left( m \right)=\frac{\left( 5-m \right)\left( 3m-1 \right)}{2\left( m^{2} -m+1 \right)^{2} }=0\Leftrightarrow \left[ m=\frac{1}{3} \\ m=5 \right.$.

Vậy $\max d\left ( { A;\left( P \right) } \right )=\sqrt{\frac{14}{3} }$ khi $m=5\in \left( 2;6 \right)$.
Cách 2:
Ta đi tìm đối tượng cố định của mặt phẳng $\left( P \right)$:
$\left( P \right):\,\left( m-1 \right)x+y+mz-1=0\Leftrightarrow \left( x+z \right)m-x+y-1=0$.
Với mọi $m\in \mathbb{R}$ mặt phẳng $\left( P \right)$ luôn đi qua giao tuyến của hai mặt phẳng $\left\{ \begin{array}{l} x+z=0 \\ -x+y-1=0 \end{array} \right.$ tức luôn đi qua đường thẳng $\left( d \right):\,\left\{ \begin{array}{l} x=t \\ y=1+t \\ z=-t \end{array} \right.$.
Gọi $H\left( t;1+t;-t \right)\in \left( d \right)\Rightarrow \overset\rightarrow { AH }=\left( t-1\,;\,t;\,-t-2 \right)$. Để khoảng cách từ $A$ đến $\left( P \right)$ lớn nhất thì $AH\perp \left( P \right)\Rightarrow \overset\rightarrow { AH }$ cùng phương với VTPT của $\left( P \right)$ là $\overset\rightarrow { n }_{P}=\left( m-1;1;m \right)$, suy ra:
$\dfrac{t-1}{m-1}=\dfrac{t}{1}=\dfrac{-t-2}{m}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} mt-t=t-1 \\ mt=-t-2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=-\dfrac13 \\ m=5\in(2;6) \end{array} \right.$.