Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 24

Đường thẳng $\Delta :\frac{x}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ được viết lại dưới dạng tham số $\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x=2t \\ y=2t \\ z=t \end{array} \right.$
Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x=2t \\ y=2t \\ z=t \\ x+2y-2z=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=0 \\ x=0 \\ y=0 \\ z=0 \end{array} \right.$. Do đó $\Delta$ cắt $\left( P \right)$ tại điểm $A\left( 0;0;0 \right)≡{ \rm{ O } }$.
Lại có $\Delta$ và $\left( P \right)$ không vuông góc nhau nên ta đi chứng minh góc nhỏ nhất giữa $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ là góc giữa $\Delta$ và $\left( P \right)$. Thật vậy trên $\Delta$ lấy $B$ khác $A$, kẻ $BH$ vuông góc với $\left( P \right)$ tại $H$ và $BK$ vuông góc $d$ tại $K$ ($d$ là giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$) tại $K$. Khi đó góc giữa $\left( Q \right)$ và $\left( P \right)$ là góc $\widehat { BKH }$.
$HA\geq HK\Rightarrow$$\tan \widehat { BKH }=\frac{BH}{HK}\geq \frac{BH}{HA}=\tan \widehat { BAH }$
$\left\{ \begin{array}{l} \widehat { BKH }, \widehat { BAH } < 90^{\circ} \\ \tan \widehat { BKH }\geq \tan \widehat { BAH } \end{array} \right.\Rightarrow \widehat { BKH }\geq \widehat { BAH }=\left ( { \widehat { \Delta ,\left( P \right) } } \right )=arcsin\frac{4}{9}$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow K≡A\Leftrightarrow \Delta \perp d.$
Do đó, góc giữa hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ là nhỏ nhất khi và chỉ khi $\left( Q \right)$ chứa $\left( \Delta \right)$ và cắt $\left( P \right)$ theo một giao tuyến vuông góc $\Delta$.
*)Viết phương trình của $\left( Q \right)$
Đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u_{1}}=\left( 2;2;1 \right)$, $\left( P \right)$ có vectơ pháp tuyến $\overset\rightarrow { n_{1}}=\left( 1;2;-2 \right)$ nên $d$ có vectơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u_{2}}=\left[ \overset\rightarrow { u_{1}},\overset\rightarrow { n_{1}} \right]=\left( -6;5;2 \right)$.
$\left( Q \right)$ chứa $\Delta$ và d nên nhận $\overset\rightarrow { n_{2}}=\left[ \overset\rightarrow { u_{2}};\overset\rightarrow { u_{1}} \right]=\left( 1;10;-22 \right)$ làm vectơ pháp tuyến.
Vậy mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua $A\left( 0;0;0 \right)$ và nhận $\overset\rightarrow { n_{2}}=\left( 1;10;-22 \right)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $x+10y-22z=0$.