Bài tập nâng cao · Bài 23
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 23
Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 0\,;\,4\,;\,-3 \right)$. Xét đường thẳng $d$ thay đổi, song song với trục $Oz$ và cách trục $Oz$ một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ $A$ đến $d$ lớn nhất, $d$ đi qua điểm nào dưới đây?
Xem lời giải
Lời giải
Vì $d$ thay đổi, song song với trục $Oz$ và cách trục $Oz$ một khoảng bằng 3 nên $d$ là đường sinh của hình trụ có trục là $Oz$ và có bán kính đáy $r=3$.
Gọi $A'$ là hình chiếu của $A$ lên trục $Oz$ $\Rightarrow A'\left( 0\,;\,0\,;\,-3 \right)$ và $AA'=4$.
Gọi $H\left( x\,;y\,;z \right)$ là hình chiếu của $A$ lên $d$.
$AH$ lớn nhất khi $A$, $A'$, $H$ thẳng hàng và $AH=AA'+A'H=AA'+r=4+3=7$.
Khi đó $\overset\rightarrow { AH }=\frac{7}{4}\overset\rightarrow { AA' }$ $\Leftrightarrow \left( x\,;\,y-4\,;\,z+3 \right)=\frac{7}{4}\left( 0\,;-4\,;0 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=-3 \\ z=-3 \end{array} \right.$$\Rightarrow H\left( 0\,;\,-3\,;-3 \right)$.
Vậy $d$ qua $H\left( 0\,;\,-3\,;-3 \right)$ có vectơ chỉ phương $\overset\rightarrow { k }=\left( 0\,;\,0\,;\,1 \right)$ nên có phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=-3 \\ z=-3+t \end{array} \right.$ suy ra $d$ đi qua điểm $M\left( 0\,;\,-3\,;\,-5 \right)$.
Gọi $A'$ là hình chiếu của $A$ lên trục $Oz$ $\Rightarrow A'\left( 0\,;\,0\,;\,-3 \right)$ và $AA'=4$.
Gọi $H\left( x\,;y\,;z \right)$ là hình chiếu của $A$ lên $d$.
$AH$ lớn nhất khi $A$, $A'$, $H$ thẳng hàng và $AH=AA'+A'H=AA'+r=4+3=7$.
Khi đó $\overset\rightarrow { AH }=\frac{7}{4}\overset\rightarrow { AA' }$ $\Leftrightarrow \left( x\,;\,y-4\,;\,z+3 \right)=\frac{7}{4}\left( 0\,;-4\,;0 \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=-3 \\ z=-3 \end{array} \right.$$\Rightarrow H\left( 0\,;\,-3\,;-3 \right)$.
Vậy $d$ qua $H\left( 0\,;\,-3\,;-3 \right)$ có vectơ chỉ phương $\overset\rightarrow { k }=\left( 0\,;\,0\,;\,1 \right)$ nên có phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x=0 \\ y=-3 \\ z=-3+t \end{array} \right.$ suy ra $d$ đi qua điểm $M\left( 0\,;\,-3\,;\,-5 \right)$.