Bài tập nâng cao · Bài 22
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 22
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x+2}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+2y-3z+4=0$. Gọi $d$ là đường thẳng nằm trong $\left( P \right)$, cắt và vuông góc với $\Delta$. Tọa độ giao điểm của $d$ và mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ là
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $A$ là giao điểm của $d$ và $\Delta \Rightarrow A\left( -2+t;2+t;-t \right)$.
Mà $A\in \left( P \right)\Rightarrow -2+t+4+2t+3t+4=0\Rightarrow t=-1$. Do đó: $A\left( -3;1;1 \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { u_{d}}\perp \overset\rightarrow { u_{ \Delta } }=\left( 1;1;-1 \right) \\ \overset\rightarrow { u_{d}}\perp \overset\rightarrow { n_{P}}=\left( 1;2;-3 \right) \end{array} \right.\Rightarrow \overset\rightarrow { u_{d}}=\left[ \overset\rightarrow { u_{ \Delta } },\overset\rightarrow { n_{P}} \right]=\left( -1;2;1 \right)$.
$d$ đi qua $A\left( -3;1;1 \right)$ và nhận $\overset\rightarrow { u_{d}}=\left( -1;2;1 \right)$ là một VTCP nên có phương trình tham số là:
$\left\{ \begin{array}{l} x=-3-t' \\ y=1+2t' \\ z=1+t' \end{array} \right.$.
Tọa độ giao điểm của $d$ và mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l} x=-3-t' \\ y=1+2t' \\ z=1+t' \\ z=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t'=-1 \\ x=-2 \\ y=-1 \\ z=0 \end{array} \right.$.
Vậy $B\left( -2;-1;0 \right)$.
Mà $A\in \left( P \right)\Rightarrow -2+t+4+2t+3t+4=0\Rightarrow t=-1$. Do đó: $A\left( -3;1;1 \right)$.
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { u_{d}}\perp \overset\rightarrow { u_{ \Delta } }=\left( 1;1;-1 \right) \\ \overset\rightarrow { u_{d}}\perp \overset\rightarrow { n_{P}}=\left( 1;2;-3 \right) \end{array} \right.\Rightarrow \overset\rightarrow { u_{d}}=\left[ \overset\rightarrow { u_{ \Delta } },\overset\rightarrow { n_{P}} \right]=\left( -1;2;1 \right)$.
$d$ đi qua $A\left( -3;1;1 \right)$ và nhận $\overset\rightarrow { u_{d}}=\left( -1;2;1 \right)$ là một VTCP nên có phương trình tham số là:
$\left\{ \begin{array}{l} x=-3-t' \\ y=1+2t' \\ z=1+t' \end{array} \right.$.
Tọa độ giao điểm của $d$ và mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l} x=-3-t' \\ y=1+2t' \\ z=1+t' \\ z=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t'=-1 \\ x=-2 \\ y=-1 \\ z=0 \end{array} \right.$.
Vậy $B\left( -2;-1;0 \right)$.