Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 21

Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa $M$ và $d_{1}$
Chọn $E\left( -4;4;2 \right)\in d_{1}$
$\Rightarrow \overset\rightarrow { n_{ \alpha } }=\left[ \overset\rightarrow { ME };\overset\rightarrow { u_{ d_{1}} } \right]=\left( 10;-14;26 \right)$ hay $\overset\rightarrow { n_{ \alpha } }=\left( 5;-7;13 \right)$
Gọi $\left( \beta \right)$ là mặt phẳng chứa $M$ và $d_{2}$
Chọn $F\left( 1;2;-5 \right)\in d_{2}$
$\Rightarrow \overset\rightarrow { n_{ \beta } }=\left[ \overset\rightarrow { MF };\overset\rightarrow { u_{ d_{2}} } \right]=\left( -12;-4;0 \right)$ hay $\overset\rightarrow { n_{ \beta } }=\left( 3;1;0 \right)$
Đường thẳng $d$ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$.
Ta có $\overset\rightarrow { u_{d}}=\left[ \overset\rightarrow { n_{ \alpha } };\overset\rightarrow { n_{ \beta } } \right]=\left( -13;39;26 \right)$ hay $\overset\rightarrow { u_{d}}=\left( -1;3;2 \right)\Rightarrow d:\,\frac{x-3}{-1}=\frac{y+4}{3}=\frac{z+5}{2}$
Lúc này $A=d∩d_{1}\Rightarrow A\left( 1;2;-1 \right)$ và $B=d∩d_{2}\Rightarrow B\left( 2;-1;-3 \right)$
Ta có $\overset\rightarrow { OA }=\left( 1;2;-1 \right),\,\overset\rightarrow { OB }=\left( 2;-1;-3 \right)$
$\Rightarrow S_{ \Delta OAB } =\frac{1}{2}\left | { \left[ \overset\rightarrow { OA };\overset\rightarrow { OB } \right] } \right |=\frac{5\sqrt{3}}{2}$.
Bổ sung cách giải thứ 2.
Ta có đường thẳng $d$ đi qua $M$ cắt $d_{1},\,d_{2}$ lần lượt tại $A$ và $B$ nên toạ độ điểm $A$ và $B$ lần lượt là: $A\left( -4\,-\,5t\,;\,4\,+\,2t\,;\,2\,+\,3t \right)$, $B\left( 1\,-\,t'\,;\,2\,+\,3t'\,;\,-5\,-2\,t' \right)$.
$\overset\rightarrow { MA }\,=\,\left( -7\,-\,5t\,;\,8\,+\,2t\,;\,7\,+\,3t \right)$, $\overset\rightarrow { MB }\,=\,\left( -2\,-\,t'\,;\,6\,+\,3t'\,;\,-2t' \right)$.
Ba điểm $M\,,\,A\,,\,B$ thẳng hàng khi $\overset\rightarrow { MA }\,=\,k\overset\rightarrow { MB }$ (điều kiện $k\,\neq \,0$), khi đó:
$\left\{ \begin{array}{l} -7\,-\,5t\,=\,k\left( -2\,-\,t' \right) \\ 8\,+\,2t\,=\,k\left( 6\,+\,3t' \right) \\ 7\,+\,3t\,=\,-2kt' \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} -5t\,+\,2k\,+\,kt'\,=\,7 \\ 2t\,-\,6k\,-\,3kt'\,=\,8 \\ 3t\,+\,2kt'\,=\,-7 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow \,\left\{ \begin{array}{l} t\,=\,1 \\ t'\,=\,-1 \\ k\,=\,2 \end{array} \right.$.
Suy ra: $A\left( 1\,;\,2\,;\,-1 \right)$, $B\left( 2\,;\,-1\,;\,-3 \right)$.
Vậy: $S_{ \Delta OAB } =\frac{1}{2}\left | { \left[ \overset\rightarrow { OA };\overset\rightarrow { OB } \right] } \right |=\frac{5\sqrt{3}}{2}$.