Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x+y+z-5=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-2}{1}$. Biết rằng trong mặt phẳng $\left( P \right)$ có hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$ cũng đi qua $A\left( 3;-1;0 \right)$ và cùng cách đường thẳng $d$ một khoảng cách bằng $3$. Tính $\sin \varphi$ với $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/12-CD21. PHUONG TRINH DUONG THANG/F. BAI TAP NANG CAO/image640.png] Ta có mặt phẳng $\left( P ight)$ có vectơ pháp tuyến là $\oversetightarrow { n }=\left( 2;1;1 ight)$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$. Suy ra $d\perp \left( P ight)$, gọi $I=d∩\left( P ight)$ thì toạ độ điểm $I$ là nghiệm hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} 2x+y+z-5=0 \ \frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-2}{1} \end{array} ight.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x+y+z-5=0 \ \frac{x-3}{2}=\frac{y-3}{1} \ \frac{y-3}{1}=\frac{z-2}{1} \end{array} ight.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x+y+z=5 \ x-2y=-3 \ y-z=1 \end{array} ight.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=1 \ y=2 \ z=1 \end{array} ight.$$\Rightarrow I\left( 1;2;1 ight)$. Ta có $IA=\sqrt{14}$. Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $d_{1},d_{2}$, có $IH=IK=3$. Vì $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $d_{1},d_{2}$ nên $\varphi = \widehat { HAK }\Rightarrow \widehat { IAH }=\frac{\varphi }{2}$. Xét tam giác $IAH$ vuông tại $H$ có $\sin \widehat { IAH }=\frac{IH}{IA}=\frac{3}{\sqrt{14} }$$\Leftrightarrow \sin \frac{\varphi}{2}=\frac{3}{\sqrt{14} }$$\Rightarrow \cos \frac{\varphi}{2}=\frac{\sqrt{70}}{14}$. Vậy $\sin \varphi =2\sin \frac{\varphi}{2}.\cos \frac{\varphi}{2}=2.\frac{3}{\sqrt{14} }.\frac{\sqrt{70}}{14}=\frac{3\sqrt{5}}{7}$.

Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 20