Bài tập nâng cao · Bài 19
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 19
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( 3;3;1 \right)$, $B\left( 0;2;1 \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-7=0$. Đường thẳng $d$ nằm trong $\left( P \right)$ sao cho mọi điểm của $d$ cách đều hai điểm $A,B$ có phương trình là
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $(Q)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$, khi đó $\left( Q \right):3x+y-7=0$.
Theo giả thiết với mọi $M\in d$ thì $AM=BM$ do đó $M\in \left( Q \right)$, từ đó $d\subset \left( Q \right)$.
Mặt khác $d\subset \left( P \right)$ nên đường thẳng $d$ là giao tuyến chung của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-7=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overset\rightarrow { n_{1}}=\left( 1;1;1 \right)$ và $\left( Q \right)$ có một pháp tuyến là $\overset\rightarrow { n_{2}}=\left( 3;1;0 \right)$.
Vì $d$ là giao tuyến chung của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên một vectơ chỉ phương của $d$ là $\overset\rightarrow { u }=\left[ \overset\rightarrow { n_{1}},\overset\rightarrow { n_{2}} \right]=\left( -1;3;-2 \right)$.
Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z-7=0 \\ 3x+y-7=0 \end{array} \right.$ cho ta điểm $E\left( 0;7;0 \right)\in \left( P \right)∩\left( Q \right)$ hay đường thẳng $d$ đi qua $E$.
Vậy phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x=t \\ y=7-3t \\ z=2t \end{array} \right.$.
Theo giả thiết với mọi $M\in d$ thì $AM=BM$ do đó $M\in \left( Q \right)$, từ đó $d\subset \left( Q \right)$.
Mặt khác $d\subset \left( P \right)$ nên đường thẳng $d$ là giao tuyến chung của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.
Mặt phẳng $\left( P \right):x+y+z-7=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\overset\rightarrow { n_{1}}=\left( 1;1;1 \right)$ và $\left( Q \right)$ có một pháp tuyến là $\overset\rightarrow { n_{2}}=\left( 3;1;0 \right)$.
Vì $d$ là giao tuyến chung của hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ nên một vectơ chỉ phương của $d$ là $\overset\rightarrow { u }=\left[ \overset\rightarrow { n_{1}},\overset\rightarrow { n_{2}} \right]=\left( -1;3;-2 \right)$.
Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l} x+y+z-7=0 \\ 3x+y-7=0 \end{array} \right.$ cho ta điểm $E\left( 0;7;0 \right)\in \left( P \right)∩\left( Q \right)$ hay đường thẳng $d$ đi qua $E$.
Vậy phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x=t \\ y=7-3t \\ z=2t \end{array} \right.$.