Bài tập nâng cao · Bài 18
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 18
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left( 2;0;1 \right)$,$B\left( 2;-2;1 \right)$, $C\left( 4;2;3 \right)$. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua tâm $I$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( ABC \right)$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( a;b;-1 \right)$, tổng $a+b$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $\overset\rightarrow { AB }=\left( 0;-2;0 \right)$, $\overset\rightarrow { AC }=\left( 2;2;2 \right)$.
VTPT $\overset\rightarrow { n }_{ _{ \left( ABC \right) } } =\left( -4;0;4 \right)=-4\left( 1;0;-1 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right):x-z-1=0$ (1)
Gọi $M$ là trung điểm $AB$, suy ra $M\left( 2;-1;1 \right)$.
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$. Khi đó $\left( \alpha \right):y+1=0$ (2)
Gọi $N$ là trung điểm $AC$, suy ra $N\left( 3;1;2 \right)$.
Gọi $\left( \beta \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AC$. Khi đó $\left( \beta \right):x+y+z-6=0$ (3)
Từ (1),(2),(3) ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l} x-z-1=0 \\ y+1=0 \\ x+y+z-6=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=4 \\ y=-1 \\ z=3 \end{array} \right.$.
Suy ra tọa độ $I\left( 4;-1;3 \right)$.
Phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x=4+t \\ y=-1 \\ z=3-t \end{array} \right.$.
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( a;b;-1 \right)$ suy ra $t=4$$\Rightarrow M\left( 8;-1;-1 \right)$.
Suy ra $a+b=7$.
VTPT $\overset\rightarrow { n }_{ _{ \left( ABC \right) } } =\left( -4;0;4 \right)=-4\left( 1;0;-1 \right)$.
Phương trình mặt phẳng $\left( ABC \right):x-z-1=0$ (1)
Gọi $M$ là trung điểm $AB$, suy ra $M\left( 2;-1;1 \right)$.
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$. Khi đó $\left( \alpha \right):y+1=0$ (2)
Gọi $N$ là trung điểm $AC$, suy ra $N\left( 3;1;2 \right)$.
Gọi $\left( \beta \right)$ là mặt phẳng trung trực của đoạn $AC$. Khi đó $\left( \beta \right):x+y+z-6=0$ (3)
Từ (1),(2),(3) ta có hệ $\left\{ \begin{array}{l} x-z-1=0 \\ y+1=0 \\ x+y+z-6=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=4 \\ y=-1 \\ z=3 \end{array} \right.$.
Suy ra tọa độ $I\left( 4;-1;3 \right)$.
Phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x=4+t \\ y=-1 \\ z=3-t \end{array} \right.$.
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( a;b;-1 \right)$ suy ra $t=4$$\Rightarrow M\left( 8;-1;-1 \right)$.
Suy ra $a+b=7$.