Bài tập nâng cao · Bài 17
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 17
Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-2}{-1};d':\frac{x-2}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z}{2}$ và điểm $M\left( 1;2;3 \right)$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $M$ và cắt cả hai đường thẳng $d$ và $d'$. Đường thẳng $\Delta$ có một véctơ chỉ phương là:
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình tham số của đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x=-2+t \\ y=3+t \\ z=2-t \end{array} \right.$ và $d':\left\{ \begin{array}{l} x=2-2t' \\ y=t' \\ z=2t' \end{array} \right.$.
Gọi $A=d∩\Delta ; B=d'∩\Delta$. Suy ra: $A\left( -2+t;3+t;2-t \right),B\left( 2-2t';t';2t' \right)$.
$\overset\rightarrow { MA }=\left( -3+t;1+t;-1-t \right);\overset\rightarrow { MB }=\left( 1-2t';-2+t';-3+2t' \right)$.
$\overset\rightarrow { MA }$ cùng phương $\overset\rightarrow { MB }$$\Leftrightarrow \frac{-3+t}{1-2t'}=\frac{1+t}{-2+t'}=\frac{-1-t}{-3+2t'}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{-3+t}{1-2t'}=\frac{1+t}{-2+t'} \\ \frac{1+t}{-2+t'}=\frac{-1-t}{-3+2t'} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3t.t'-3t-t'=-5 \\ 3t.t'-5t+3t'=5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3t.t'-3t-t'=-5 \\ t-2t'=-5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6\left( t' \right)^{2} -22t'+20=0 \\ t=2t'-5 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \left\{ \begin{array}{l} t'=2 \\ t=-1 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} t'=\frac{5}{3} \\ t=-\frac{5}{3} \end{array} \right. \right.$
Với $\left\{ \begin{array}{l} t=-1\Rightarrow \overset\rightarrow { MA }=\left( -4;0;0 \right) \\ t'=2\Rightarrow \overset\rightarrow { MB }=\left( -3;0;1 \right) \end{array} \right.$ suy ra $\overset\rightarrow { MA }$ không cùng phương $\overset\rightarrow { MB }$ nên ta loại trường hợp này.
Với $\left\{ \begin{array}{l} t=-\frac{5}{3}\Rightarrow \overset\rightarrow { MA }=\left( -\frac{14}{3};-\frac{2}{3};\frac{2}{3} \right)=-\frac{2}{3}\left( 7;1;-1 \right) \\ t'=\frac{5}{3}\Rightarrow \overset\rightarrow { MB }=\left( -\frac{7}{3};-\frac{1}{3};\frac{1}{3} \right)=-\frac{1}{3}\left( 7;1;-1 \right) \end{array} \right.$ suy ra $\overset\rightarrow { MA }$ cùng phương $\overset\rightarrow { MB }$ nên ta nhận trường hợp này.
Gọi $A=d∩\Delta ; B=d'∩\Delta$. Suy ra: $A\left( -2+t;3+t;2-t \right),B\left( 2-2t';t';2t' \right)$.
$\overset\rightarrow { MA }=\left( -3+t;1+t;-1-t \right);\overset\rightarrow { MB }=\left( 1-2t';-2+t';-3+2t' \right)$.
$\overset\rightarrow { MA }$ cùng phương $\overset\rightarrow { MB }$$\Leftrightarrow \frac{-3+t}{1-2t'}=\frac{1+t}{-2+t'}=\frac{-1-t}{-3+2t'}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \frac{-3+t}{1-2t'}=\frac{1+t}{-2+t'} \\ \frac{1+t}{-2+t'}=\frac{-1-t}{-3+2t'} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3t.t'-3t-t'=-5 \\ 3t.t'-5t+3t'=5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3t.t'-3t-t'=-5 \\ t-2t'=-5 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 6\left( t' \right)^{2} -22t'+20=0 \\ t=2t'-5 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \left\{ \begin{array}{l} t'=2 \\ t=-1 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} t'=\frac{5}{3} \\ t=-\frac{5}{3} \end{array} \right. \right.$
Với $\left\{ \begin{array}{l} t=-1\Rightarrow \overset\rightarrow { MA }=\left( -4;0;0 \right) \\ t'=2\Rightarrow \overset\rightarrow { MB }=\left( -3;0;1 \right) \end{array} \right.$ suy ra $\overset\rightarrow { MA }$ không cùng phương $\overset\rightarrow { MB }$ nên ta loại trường hợp này.
Với $\left\{ \begin{array}{l} t=-\frac{5}{3}\Rightarrow \overset\rightarrow { MA }=\left( -\frac{14}{3};-\frac{2}{3};\frac{2}{3} \right)=-\frac{2}{3}\left( 7;1;-1 \right) \\ t'=\frac{5}{3}\Rightarrow \overset\rightarrow { MB }=\left( -\frac{7}{3};-\frac{1}{3};\frac{1}{3} \right)=-\frac{1}{3}\left( 7;1;-1 \right) \end{array} \right.$ suy ra $\overset\rightarrow { MA }$ cùng phương $\overset\rightarrow { MB }$ nên ta nhận trường hợp này.