Bài tập nâng cao · Bài 16
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 16
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho 3 đường thẳng $d_{1}:\left\{ \begin{array}{l} x=3+t \\ y=3+2t \\ z=-2-t \end{array} \right.$, $d_{2}:\frac{x-5}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-2}{-1}$ và $d_{3}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{3}$. Đường thẳng $d$ song song với $d_{3}$ cắt $d_{1}$ và $d_{2}$ có phương trình là
Xem lời giải
Lời giải
Giả sử đường thẳng $d$ cắt $d_{1}$ và $d_{2}$ lần lượt tại $A$, $B$.
Gọi $A\left( 3+t;3+2t;-2-t \right)$; $B\left( 5+3t';-1-2t';2-t' \right)$.
Ta có $\overset\rightarrow { AB }=\left( 3t'-t+2;-2t'-2t-4;-t'+t+4 \right)$.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d_{3}$ là $u=\left( 1;2;3 \right)$.
Do $d$ song song với $d_{3}$ nên $\overset\rightarrow { AB }$, $u$ cùng phương.
Khi đó $\frac{3t'-t+2}{1}=\frac{-2t'-2t-4}{2}=\frac{-t'+t+4}{3}$
$\left\{ \begin{array}{l} \frac{3t'-t+2}{1}=\frac{-2t'-2t-4}{2} \\ \frac{3t'-t+2}{1}=\frac{-t'+t+4}{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 8t'=-8 \\ 10t'-4t=-2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t'=-1 \\ t=-2 \end{array} \right.$.
Ta có $A\left( 1;-1;0 \right)$.
Phương trình đường thẳng $d$ là $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$.
Gọi $A\left( 3+t;3+2t;-2-t \right)$; $B\left( 5+3t';-1-2t';2-t' \right)$.
Ta có $\overset\rightarrow { AB }=\left( 3t'-t+2;-2t'-2t-4;-t'+t+4 \right)$.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng $d_{3}$ là $u=\left( 1;2;3 \right)$.
Do $d$ song song với $d_{3}$ nên $\overset\rightarrow { AB }$, $u$ cùng phương.
Khi đó $\frac{3t'-t+2}{1}=\frac{-2t'-2t-4}{2}=\frac{-t'+t+4}{3}$
$\left\{ \begin{array}{l} \frac{3t'-t+2}{1}=\frac{-2t'-2t-4}{2} \\ \frac{3t'-t+2}{1}=\frac{-t'+t+4}{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 8t'=-8 \\ 10t'-4t=-2 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t'=-1 \\ t=-2 \end{array} \right.$.
Ta có $A\left( 1;-1;0 \right)$.
Phương trình đường thẳng $d$ là $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$.