Bài tập nâng cao · Bài 15
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 15
Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A(-1;0;2)$, $B(1;2;1)$, $C(2;-1;1)$ và $D(0;1;3)$. Đường thẳng $d$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(BCD)$ có phương trình là
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $\overset\rightarrow { n }$ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( BCD \right)$.
Ta có: $\overset\rightarrow { BC }=\left( 1\,;\,-3\,;\,0 \right)$; $\overset\rightarrow { BD }=\left( -1\,;\,-1\,;\,2 \right)$.
Suy ra: $\left[ \overset\rightarrow { BC };\,\overset\rightarrow { BD } \right]=\left( -6\,;-\,2\,;\,-4 \right)$. Chọn vtpt là: $\overset\rightarrow { n }=\left( 3\,;\,1\,;\,2 \right)$.
Vì đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ nên vec tơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u }$ của đường thẳng $d$ và vec tơ $\overset\rightarrow { n }$ cùng phương. Loại hai phương án B và C.
Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ là:
$\left( d \right)\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=-1+3t \\ y=t \\ z=2+2t \\ \end{array} \end{array} \right.$.
Thay tọa độ điểm $\left( -2\,;\,-1\,;\,-4 \right)$ vào $d$ ta được: $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} -2=-1+3t \\ -1=t \\ -4=2+2t \\ \end{array} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} t=-\frac{1}{3} \\ t=-1 \\ t=-3 \\ \end{array} \end{array} \right.$. Nên loại#A.
Thay tọa độ điểm $\left( 2\,;\,1\,;\,4 \right)$ vào $d$ ta được: $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 2=-1+3t \\ 1=t \\ 4=2+2t \\ \end{array} \end{array} \right.\Leftrightarrow t=1$. Chọn D
Ta có: $\overset\rightarrow { BC }=\left( 1\,;\,-3\,;\,0 \right)$; $\overset\rightarrow { BD }=\left( -1\,;\,-1\,;\,2 \right)$.
Suy ra: $\left[ \overset\rightarrow { BC };\,\overset\rightarrow { BD } \right]=\left( -6\,;-\,2\,;\,-4 \right)$. Chọn vtpt là: $\overset\rightarrow { n }=\left( 3\,;\,1\,;\,2 \right)$.
Vì đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ nên vec tơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u }$ của đường thẳng $d$ và vec tơ $\overset\rightarrow { n }$ cùng phương. Loại hai phương án B và C.
Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( BCD \right)$ là:
$\left( d \right)\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} x=-1+3t \\ y=t \\ z=2+2t \\ \end{array} \end{array} \right.$.
Thay tọa độ điểm $\left( -2\,;\,-1\,;\,-4 \right)$ vào $d$ ta được: $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} -2=-1+3t \\ -1=t \\ -4=2+2t \\ \end{array} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} t=-\frac{1}{3} \\ t=-1 \\ t=-3 \\ \end{array} \end{array} \right.$. Nên loại#A.
Thay tọa độ điểm $\left( 2\,;\,1\,;\,4 \right)$ vào $d$ ta được: $\left\{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} 2=-1+3t \\ 1=t \\ 4=2+2t \\ \end{array} \end{array} \right.\Leftrightarrow t=1$. Chọn D