Bài tập nâng cao · Bài 14
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 14
Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{-2}$ và đường thẳng $d_{2}:\left\{ \begin{array}{l} x=1+3t \\ y=-4 \\ z=4+t \end{array} \right.$. Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( 1;2;-1 \right)$ và cắt $d_{1}$ tại $M$, cắt $d_{2}$ tại $N$. Khi đó $AM^{2}+AN^{2}$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Điểm $M$ thuộc đường thẳng $d_{1}$ nên tọa độ điểm $M$ có dạng $M\left( 1+u;-1+u;3-2u \right)$
Điểm $N$ thuộc đường thẳng $d_{2}$ nên tọa độ của $N\left( 1+3t;-4;4+t \right)$
$\overset\rightarrow { AM }=\left( u;u-3;4-2u \right)$
$\overset\rightarrow { AN }=\left( 3t;-6;5+t \right)$
$A,M,N$ thuộc đường thẳng $d$ nên ba điểm $A,M,N$ thẳng hàng
Ba điểm $A,M,N$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overset\rightarrow { AM }$ và $\overset\rightarrow { AN }$ cùng phương
$\Leftrightarrow \frac{u}{3t}=\frac{u-3}{-6}=\frac{4-2u}{5+t}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u=1 \\ t=1 \end{array} \right.$
$\overset\rightarrow { AM }=\left( 1;-2;2 \right)\Rightarrow AM=3$
$\overset\rightarrow { AN }=\left( 3;-6;6 \right)\Rightarrow AN=9$
Do đó $AM^{2}+AN^{2}=90.$
Điểm $N$ thuộc đường thẳng $d_{2}$ nên tọa độ của $N\left( 1+3t;-4;4+t \right)$
$\overset\rightarrow { AM }=\left( u;u-3;4-2u \right)$
$\overset\rightarrow { AN }=\left( 3t;-6;5+t \right)$
$A,M,N$ thuộc đường thẳng $d$ nên ba điểm $A,M,N$ thẳng hàng
Ba điểm $A,M,N$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overset\rightarrow { AM }$ và $\overset\rightarrow { AN }$ cùng phương
$\Leftrightarrow \frac{u}{3t}=\frac{u-3}{-6}=\frac{4-2u}{5+t}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} u=1 \\ t=1 \end{array} \right.$
$\overset\rightarrow { AM }=\left( 1;-2;2 \right)\Rightarrow AM=3$
$\overset\rightarrow { AN }=\left( 3;-6;6 \right)\Rightarrow AN=9$
Do đó $AM^{2}+AN^{2}=90.$