Bài tập nâng cao · Bài 13
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 13
Trong không gian tọa độ $Oxyz$ cho đường thẳng $\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x=1+t \\ y=-t \\ z=-1+t \end{array} \right.$ và điểm $A\left( 1;3;-1 \right)$. Viết
phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$, cắt và vuông góc với đường thẳng $\Delta$.
phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$, cắt và vuông góc với đường thẳng $\Delta$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $B$ là giao điểm của hai đường thẳng $d$ và $\Delta$.
Vì $B\in \Delta$ nên tọa độ $B(1+t ; -t ; -1+t)$. Khi đó $\overset\rightarrow { BA }=\left( -t;t+3;-t \right)$.
Đường thẳng $\Delta$ có một vec tơ chỉ phương là $\overset\rightarrow { u }=\left( 1;-1;1 \right)$.
$d\perp \Delta \Leftrightarrow \overset\rightarrow { BA }\perp \overset\rightarrow { u }\Leftrightarrow \overset\rightarrow { BA }.\overset\rightarrow { u }=0\Leftrightarrow t=-1$.
Suy ra $\overset\rightarrow { BA }=(1 ; { \rm{ 2 } } ; { \rm{ 1 } })$.
Do đó đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ và nhận $\overset\rightarrow { BA }$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là $\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{1}$.
Vì $B\in \Delta$ nên tọa độ $B(1+t ; -t ; -1+t)$. Khi đó $\overset\rightarrow { BA }=\left( -t;t+3;-t \right)$.
Đường thẳng $\Delta$ có một vec tơ chỉ phương là $\overset\rightarrow { u }=\left( 1;-1;1 \right)$.
$d\perp \Delta \Leftrightarrow \overset\rightarrow { BA }\perp \overset\rightarrow { u }\Leftrightarrow \overset\rightarrow { BA }.\overset\rightarrow { u }=0\Leftrightarrow t=-1$.
Suy ra $\overset\rightarrow { BA }=(1 ; { \rm{ 2 } } ; { \rm{ 1 } })$.
Do đó đường thẳng $d$ đi qua điểm $A$ và nhận $\overset\rightarrow { BA }$ làm vectơ chỉ phương có phương trình chính tắc là $\frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{1}$.