Bài tập nâng cao · Bài 12
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 12
Trong không gian $Oxyz$ cho hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{1}$; $d_{2}:\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{1}$ và mặt phẳng $(P):x+y-2z+5=0$. Phương trình đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$ và cắt $d_{1}$, $d_{2}$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho $AB=3\sqrt{3}$ là
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình tham số của $d_{1}:\left\{ \begin{array}{l} x=-1+t \\ y=-2+2t \\ z=t \end{array} \right.\,\,\left( t\in \mathbb{R} \right)$ và $d_{2}:\left\{ \begin{array}{l} x=2+2k \\ y=1+k \\ z=1+k \end{array} \right.\,\,\left( k\in \mathbb{R} \right)$.
Mặt phẳng $(P)$ có VTPT là $\overset\rightarrow { n }=\left( 1;\,1;\,-2 \right)$.
Do $A=d∩d_{1}$, $B=d∩d_{2}$. Suy ra tọa độ $A\left( -1+t;\,-2+2t;\,t \right)$, $B\left( 2+2k;\,1+k;\,1+k \right)$.
Ta có $\overset\rightarrow { AB }=\left( 3+2k-t;\,3+k-2t;\,1+k-t \right)$ là VTCP của đường thẳng $d$.
Do $d\, \parallel \,(P)$ nên ta có $\overset\rightarrow { AB }\perp \overset\rightarrow { n }\Leftrightarrow \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { n }=0\Leftrightarrow 3+2k-t+3+k-2t-2-2k+2t=0$
$\Leftrightarrow k-t+4=0\Leftrightarrow k=t-4$.
Khi đó $\overset\rightarrow { AB }=\left( -5+t;\,-1-t;\,-3 \right)$.
Suy ra $AB=3\sqrt{3}\Leftrightarrow \sqrt{\left( -5+t \right)^{2} +\left( 1+t \right)^{2} +9 }=3\sqrt{3}\Leftrightarrow 2t^{2} -8t+8=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow k=-2$.
Ta có: $\overset\rightarrow { AB }=\left( -3;\,-3;\,-3 \right)$ và tọa độ $A\left( 1;\,2;\,2 \right)$. Suy ra VTCP $\overset\rightarrow { u_{d}}=-\frac{1}{3}\overset\rightarrow { AB }=\left( 1;\,1;\,1 \right)$.
Vậy phương trình của đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1}$.
Mặt phẳng $(P)$ có VTPT là $\overset\rightarrow { n }=\left( 1;\,1;\,-2 \right)$.
Do $A=d∩d_{1}$, $B=d∩d_{2}$. Suy ra tọa độ $A\left( -1+t;\,-2+2t;\,t \right)$, $B\left( 2+2k;\,1+k;\,1+k \right)$.
Ta có $\overset\rightarrow { AB }=\left( 3+2k-t;\,3+k-2t;\,1+k-t \right)$ là VTCP của đường thẳng $d$.
Do $d\, \parallel \,(P)$ nên ta có $\overset\rightarrow { AB }\perp \overset\rightarrow { n }\Leftrightarrow \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { n }=0\Leftrightarrow 3+2k-t+3+k-2t-2-2k+2t=0$
$\Leftrightarrow k-t+4=0\Leftrightarrow k=t-4$.
Khi đó $\overset\rightarrow { AB }=\left( -5+t;\,-1-t;\,-3 \right)$.
Suy ra $AB=3\sqrt{3}\Leftrightarrow \sqrt{\left( -5+t \right)^{2} +\left( 1+t \right)^{2} +9 }=3\sqrt{3}\Leftrightarrow 2t^{2} -8t+8=0\Leftrightarrow t=2\Rightarrow k=-2$.
Ta có: $\overset\rightarrow { AB }=\left( -3;\,-3;\,-3 \right)$ và tọa độ $A\left( 1;\,2;\,2 \right)$. Suy ra VTCP $\overset\rightarrow { u_{d}}=-\frac{1}{3}\overset\rightarrow { AB }=\left( 1;\,1;\,1 \right)$.
Vậy phương trình của đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-2}{1}$.