Bài tập nâng cao · Bài 11
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 11
Cho điểm $A\left( 2;3;1 \right)$ và hai đường thẳng $d_{1}:\frac{x+2}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z}{-2}$, $d_{2}:\left\{ \begin{array}{l} x=1-3t \\ y=t \\ z=2-t \end{array} \right.$. Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$ cắt $d_{1},d_{2}$ là
Xem lời giải
Lời giải
Đường thẳng $d_{1}$ đi qua $M\left( -2;2;0 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u_{1}}=\left( 1;-1;-2 \right)$.
Đường thẳng $d_{2}$ đi qua $N\left( 1;0;2 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u_{2}}=\left( -3;1;-1 \right)$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A\left( 2;3;1 \right)$ và đường thẳng $d_{1}$.
$\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua $A\left( 2;3;1 \right)$ và đường thẳng $d_{2}$.
$\Rightarrow d=\left( P \right)∩\left( Q \right)$.
Vectơ pháp tuyến của $\left( P \right):\,\overset\rightarrow { n }=\left[ \overset\rightarrow { AM },\,\overset\rightarrow { u_{1}} \right]=\left( 1;-9;5 \right)$
Vectơ pháp tuyến của $\left( Q \right):\,\,\overset\rightarrow { n' }=\left[ \overset\rightarrow { AN },\,\overset\rightarrow { u_{2}} \right]=\left( 2;-4;-10 \right)$
Do vậy đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overset\rightarrow { u }=\left[ \overset\rightarrow { n };\,\overset\rightarrow { n' } \right]=\left( 110;\,20;\,14 \right)$
Chọn một vectơ chỉ phương của $d$ là $\overset\rightarrow { u_{3}}=\left( 55;10;7 \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng $d$ là: $\frac{x-2}{55}=\frac{y-3}{10}=\frac{z-1}{7}.$
Đường thẳng $d_{2}$ đi qua $N\left( 1;0;2 \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u_{2}}=\left( -3;1;-1 \right)$.
Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A\left( 2;3;1 \right)$ và đường thẳng $d_{1}$.
$\left( Q \right)$ là mặt phẳng đi qua $A\left( 2;3;1 \right)$ và đường thẳng $d_{2}$.
$\Rightarrow d=\left( P \right)∩\left( Q \right)$.
Vectơ pháp tuyến của $\left( P \right):\,\overset\rightarrow { n }=\left[ \overset\rightarrow { AM },\,\overset\rightarrow { u_{1}} \right]=\left( 1;-9;5 \right)$
Vectơ pháp tuyến của $\left( Q \right):\,\,\overset\rightarrow { n' }=\left[ \overset\rightarrow { AN },\,\overset\rightarrow { u_{2}} \right]=\left( 2;-4;-10 \right)$
Do vậy đường thẳng $d$ có một vectơ chỉ phương là $\overset\rightarrow { u }=\left[ \overset\rightarrow { n };\,\overset\rightarrow { n' } \right]=\left( 110;\,20;\,14 \right)$
Chọn một vectơ chỉ phương của $d$ là $\overset\rightarrow { u_{3}}=\left( 55;10;7 \right)$.
Vậy phương trình đường thẳng $d$ là: $\frac{x-2}{55}=\frac{y-3}{10}=\frac{z-1}{7}.$