Bài tập nâng cao · Bài 10
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 10
Cho điểm $M\left( 2\,;\,-6\,;\,4 \right)$ và đường thẳng $d$: $\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z}{-2}$. Tìm tọa độ điểm $M'$ đối xứng với điểm $M$ qua đường thẳng $d$:
Xem lời giải
Lời giải
Đường thẳng $d$ có một vector chỉ phương $\overset\rightarrow { u }=\left( 2\,;\,1\,;\,-2 \right)$
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$
$\Rightarrow$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có một vector pháp tuyến $\overset\rightarrow { u }=\left( 2\,;\,1\,;\,-2 \right)$
$\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $2\left( x-2 \right)+1\left( y+6 \right)-2\left( z-4 \right)=0$ hay $2x+y-2z+10=0$
Tọa độ giao điểm $I$ của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thỏa mãn hệ:
$\left\{ \begin{array}{l} \frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z}{-2} \\ 2x+y-2z+10=0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} x=-1 \\ y=-4 \\ z=2 \end{array} \right.$$\Rightarrow$$I\left( -1\,;\,-4\,;\,2 \right)$
$M'$ đối xứng với điểm $M$ qua đường thẳng $d$$\Rightarrow$$I$ là trung điểm $MM'$
$\Rightarrow$ Tọa độ điểm $M'$ là $\left\{ \begin{array}{l} x_{ M' } =2x_{I}-x_{M}=2.\left( -1 \right)-2=-4 \\ y_{ M' } =2y_{I}-y_{M}=2.\left( -4 \right)+6=-2 \\ z_{ M' } =2z_{I}-z_{M}=2.2-4=0 \end{array} \right.$$\Rightarrow$$M'\left( -4\,;\,-2\,;\,0 \right)$.
Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$
$\Rightarrow$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có một vector pháp tuyến $\overset\rightarrow { u }=\left( 2\,;\,1\,;\,-2 \right)$
$\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $2\left( x-2 \right)+1\left( y+6 \right)-2\left( z-4 \right)=0$ hay $2x+y-2z+10=0$
Tọa độ giao điểm $I$ của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thỏa mãn hệ:
$\left\{ \begin{array}{l} \frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z}{-2} \\ 2x+y-2z+10=0 \end{array} \right.$$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l} x=-1 \\ y=-4 \\ z=2 \end{array} \right.$$\Rightarrow$$I\left( -1\,;\,-4\,;\,2 \right)$
$M'$ đối xứng với điểm $M$ qua đường thẳng $d$$\Rightarrow$$I$ là trung điểm $MM'$
$\Rightarrow$ Tọa độ điểm $M'$ là $\left\{ \begin{array}{l} x_{ M' } =2x_{I}-x_{M}=2.\left( -1 \right)-2=-4 \\ y_{ M' } =2y_{I}-y_{M}=2.\left( -4 \right)+6=-2 \\ z_{ M' } =2z_{I}-z_{M}=2.2-4=0 \end{array} \right.$$\Rightarrow$$M'\left( -4\,;\,-2\,;\,0 \right)$.