Bài tập nâng cao · Bài 9
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 9
Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right):x-y-z+3=0$. Đường thẳng $d'$ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$. Đường thẳng $d'$ đi qua điểm nào sau đây?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $\overset\rightarrow { u_{d}}=\left( 2;-1;1 \right)$, $\overset\rightarrow { n_{ \left( P \right) } }=\left( 1;-1;-1 \right)$.
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$:
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có một vtpt là: $\overset\rightarrow { n_{ \left( Q \right) } }=\left[ \overset\rightarrow { u_{d}};\overset\rightarrow { n_{ \left( P \right) } } \right]=\left( 2;3;-1 \right)$
Đường thẳng $d'$ là giao tuyến của mặt phẳng $\left( Q \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$:
Đường thẳng $d'$ có một vtcp là: $\overset\rightarrow { u_{ d' } }=\left[ \overset\rightarrow { n_{ \left( P \right) } };\overset\rightarrow { n_{ \left( Q \right) } } \right]=\left( 4;-1;5 \right)$
Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Tọa độ của $E$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{array}{l} \frac{x+1}{2}=\frac{y}{-1} \\ \frac{y}{-1}=\frac{z-2}{1} \\ x-y-z+3=0 \end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l} x+2y =-1 \\ y+z=2 \\ x-y-z=-3 \end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l} x=-1 \\ y=0 \\ z=2 \end{array} \right.$ ⇒ $E\left( -1;0;2 \right)$.
Phương trình tham số của đường thẳng $d'$ là: $d':\left\{ \begin{array}{l} x=-1+4t \\ y=-t \\ z=2+5t \end{array} \right.$.
Với $t=1$ ⇒ $N\left( 3;-1;7 \right)\in d'$.
Gọi $\left( Q \right)$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$:
Mặt phẳng $\left( Q \right)$ có một vtpt là: $\overset\rightarrow { n_{ \left( Q \right) } }=\left[ \overset\rightarrow { u_{d}};\overset\rightarrow { n_{ \left( P \right) } } \right]=\left( 2;3;-1 \right)$
Đường thẳng $d'$ là giao tuyến của mặt phẳng $\left( Q \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$:
Đường thẳng $d'$ có một vtcp là: $\overset\rightarrow { u_{ d' } }=\left[ \overset\rightarrow { n_{ \left( P \right) } };\overset\rightarrow { n_{ \left( Q \right) } } \right]=\left( 4;-1;5 \right)$
Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Tọa độ của $E$ là nghiệm của hệ:
$\left\{ \begin{array}{l} \frac{x+1}{2}=\frac{y}{-1} \\ \frac{y}{-1}=\frac{z-2}{1} \\ x-y-z+3=0 \end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l} x+2y =-1 \\ y+z=2 \\ x-y-z=-3 \end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l} x=-1 \\ y=0 \\ z=2 \end{array} \right.$ ⇒ $E\left( -1;0;2 \right)$.
Phương trình tham số của đường thẳng $d'$ là: $d':\left\{ \begin{array}{l} x=-1+4t \\ y=-t \\ z=2+5t \end{array} \right.$.
Với $t=1$ ⇒ $N\left( 3;-1;7 \right)\in d'$.