Bài tập nâng cao · Bài 8
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 8
Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x+y-z-1=0$ và hai đường thẳng $\Delta _{1}:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{1}$, $\Delta _{2}:\frac{x}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{3}$. Biết rằng có hai đường thẳng $d_{1},\,\,d_{2}$ nằm trong $\left( P \right)$, cắt $\Delta _{2}$ và cách $\Delta _{1}$ một khoảng bằng $\frac{\sqrt{6}}{2}$. Gọi $\overset\rightarrow { u_{1}}=\left( a\,;\,b\,;\,1 \right)$, $\overset\rightarrow { u_{2}}=\left( 1\,;\,c\,;\,d \right)$ lần lượt là véctơ chỉ phương của $d_{1},\,\,d_{2}$. Tính $S=a+b+c+d$.
Xem lời giải
Lời giải
Đường thẳng $\Delta _{1}$ đi qua điểm $A\left( 1\,;\,0\,;\,0 \right)$ và có một véctơ chỉ phương $\overset\rightarrow { v_{1}}=\left( -1\,;\,-1\,;\,1 \right)$.
Đường thẳng $\Delta _{2}$ đi qua điểm $B\left( 0\,;\,0\,;\,-1 \right)$ và có một véctơ chỉ phương $\overset\rightarrow { v_{2}}=\left( 1\,;\,1\,;\,3 \right)$.
Nhận thấy $A,\ B\in \left( P \right)$.
Đường thẳng $d$ nằm trong $\left( P \right)$, cắt $\Delta _{2}$ và cách $\Delta _{1}$ một khoảng bằng $\frac{\sqrt{6}}{2}$, giả sử $d$ có một véctơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u }=\left( m\,;\,n\,;\,p \right)$,$\left( m^{2} +n^{2} +p^{2} >0 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ có một véctơ pháp tuyến $\overset\rightarrow { n }=\left( 1\,;\,1\,;\,-1 \right)$.
Vì $d$ nằm trong $\left( P \right)$ nên $\overset\rightarrow { u }\perp \overset\rightarrow { n }\Rightarrow \overset\rightarrow { u }.\overset\rightarrow { n }=0\Rightarrow m+n-p=0\Rightarrow p=m+n$.
Khi đó $d$ đi qua $B$ và có một véctơ chỉ phương $\overset\rightarrow { u }=\left( m\,;\,n\,;\,p \right)$.
Ta có: $\left[ \overset\rightarrow { v_{1}},\overset\rightarrow { u } \right]=\left( -n-p\,;\,m+p;\,m-n \right)$; $\overset\rightarrow { AB }=\left( -1\,;\,0\,;\,-1 \right)$.
Khoảng cách giữa $d$ và $\Delta _{1}$ là: $d\left( d;\Delta _{1}\right)=\frac{\left | { \left[ \overset\rightarrow { v_{1}},\overset\rightarrow { u } \right].\overset\rightarrow { AB } } \right |}{\left | { \left[ \overset\rightarrow { v_{1}},\overset\rightarrow { u } \right] } \right | }=\frac{\left| n+p+n-m \right|}{\sqrt{\left( -n-p \right)^{2} +\left( m+p \right)^{2} +\left( m-n \right)^{2} } }=\frac{\sqrt{6}}{2}$
$\Leftrightarrow m^{2} +mn=0\Leftrightarrow \left[ m=0 \\ m=-n \right.$.
Với $m=0$ ta chọn $n=1\Rightarrow p=1$ suy ra một véctơ chỉ phương của $d$ là $\overset\rightarrow { u_{1}}=\left( 0\,;\,1\,;\,1 \right)$.
Với $m=-n$ ta chọn $n=-1\Rightarrow p=0$ suy ra một véctơ chỉ phương của $d$ là $\overset\rightarrow { u_{2}}=\left( 1\,;\,-1\,;\,0 \right)$. Vậy $a=0;\,b=1;\,c=-1;\,d=0$ suy ra $S=a+b+c+d=0$.