Bài tập nâng cao · Bài 7
Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 7
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(\alpha ):2x+y-2z-2=0$, đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z+3}{2}$ và điểm $A(1;-1;2)$. Gọi $\Delta$ là đường thẳng nằm trong $(\alpha )$, song song với $d$ đồng thời cách $d$ một khoảng bằng 3. Đường thẳng $\Delta$ cắt mặt phẳng (Oyz) tại điểm B có tung độ dương. Độ dài đoạn AB bằng
Xem lời giải
Lời giải
PTTS của $d:\left\{ \begin{array}{l} x=-1+t \\ y=-2+2t \\ z=-3+2t \end{array} \right.$
Giải PT: $2(-1+t)+(-2+2t)-2(-3+2t)-2=0\Leftrightarrow 0t=0$
Vậy $d\subset (\alpha )$.
Lấy $M_{0}(-1;-2;-3)\in d$ và gọi $M(a;b;c)$ là hình chiếu vuông góc của $M_{0}$ lên $\Delta$
Ta có $\overset\rightarrow { M_{0}M }=(a+1;b+2;c+3)$, VTPT của $(\alpha )$ là $\overset\rightarrow { n }=(2;1;-2)$
Theo bài ra ta có hpt $\left\{ \begin{array}{l} 2a+b-2c-2=0 \\ (a+1)+2(b+2)+2(c+3)=0 \\ (a+1)^{2} +(b+2)^{2} +(c+3)^{2} =9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b=-3-a \\ c=\frac{a-5}{2} \\ (a+1)^{2} =4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \left\{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=-4 \\ c=-2 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} a=-3 \\ b=0 \\ c=-4 \end{array} \right. \right.$
Với $M(1;-4;-2)$ suy ra $\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x=1+t_{1}\\ y=-4+2t_{1}\\ z=-2+2t_{1}\end{array} \right.$
Giải PT $1+t_{1}=0\Leftrightarrow t_{1}=-1$
Vậy $B(0;-6;-4)$ (loại)
Với $M(-3;0;-4)$ suy ra $\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x=-3+t_{2}\\ y=2t_{2}\\ z=-4+2t_{2}\end{array} \right.$
Giải PT $-3+t_{2}=0\Leftrightarrow t_{2}=3$
Vậy $B(0;6;2)$ (TM)
Suy ra $AB=5\sqrt{2}$
Giải PT: $2(-1+t)+(-2+2t)-2(-3+2t)-2=0\Leftrightarrow 0t=0$
Vậy $d\subset (\alpha )$.
Lấy $M_{0}(-1;-2;-3)\in d$ và gọi $M(a;b;c)$ là hình chiếu vuông góc của $M_{0}$ lên $\Delta$
Ta có $\overset\rightarrow { M_{0}M }=(a+1;b+2;c+3)$, VTPT của $(\alpha )$ là $\overset\rightarrow { n }=(2;1;-2)$
Theo bài ra ta có hpt $\left\{ \begin{array}{l} 2a+b-2c-2=0 \\ (a+1)+2(b+2)+2(c+3)=0 \\ (a+1)^{2} +(b+2)^{2} +(c+3)^{2} =9 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} b=-3-a \\ c=\frac{a-5}{2} \\ (a+1)^{2} =4 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \left\{ \begin{array}{l} a=1 \\ b=-4 \\ c=-2 \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} a=-3 \\ b=0 \\ c=-4 \end{array} \right. \right.$
Với $M(1;-4;-2)$ suy ra $\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x=1+t_{1}\\ y=-4+2t_{1}\\ z=-2+2t_{1}\end{array} \right.$
Giải PT $1+t_{1}=0\Leftrightarrow t_{1}=-1$
Vậy $B(0;-6;-4)$ (loại)
Với $M(-3;0;-4)$ suy ra $\Delta :\left\{ \begin{array}{l} x=-3+t_{2}\\ y=2t_{2}\\ z=-4+2t_{2}\end{array} \right.$
Giải PT $-3+t_{2}=0\Leftrightarrow t_{2}=3$
Vậy $B(0;6;2)$ (TM)
Suy ra $AB=5\sqrt{2}$