Bài tập nâng cao Phương trình đường thẳng trong không gian · Bài 6

Gọi $M\left( -1+2t\,;\,1-t\,;\,2t \right)\in d$. Ta có $MA=\sqrt{9t^{2} +20 }\,\,;\,\,MB=\sqrt{9\left( t-2 \right)^{2} +20 }\,;\,AB=2\sqrt{11}.$
Chu vi tam giác $MAB$ là $C_{MAB}=MA+MB+AB$. Suy ra $C_{MAB}Min\Leftrightarrow \left( MA+MB \right)Min$.
Cách 1:
Đặt $f\left( t \right)=\sqrt{9t^{2} +20 }+\sqrt{9\left( t-2 \right)^{2} +20 }\,,\,\,t\in \mathbb{R}.$
$f'\left( t \right)=\frac{9t}{\sqrt{9t^{2} +20 } }+\frac{9\left( t-2 \right)}{\sqrt{9\left( t-2 \right)^{2} +20 } }$; $f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \frac{9t}{\sqrt{9t^{2} +20 } }=\frac{9\left( 2-t \right)}{\sqrt{9\left( 2-t \right)^{2} +20 } }$. (*)
Xét hàm $g\left( x \right)=\frac{9x}{\sqrt{9x^{2} +20 } },\,x\in \mathbb{R}.$ Ta có $g'\left( x \right)=\frac{180}{\left( 9x^{2} +20 \right)\sqrt{9x^{2} +20 } }>0\,,\forall x\in \mathbb{R}.$
$\Rightarrow g\left( x \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó $(*)\Leftrightarrow g\left( t \right)=g\left( 2-t \right)\Leftrightarrow t=2-t\Leftrightarrow t=1.$
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra $\mathop { Min\,f } \limits_{ \mathbb{R} } \left( t \right)=2\sqrt{29}$ tại $t=1.$
Suy ra $M\left( 1\,;\,0\,;\,2 \right)$. Do đó $a=1\,;\,\,b=0\,\,;\,\,c=2\Rightarrow a+2b+3c=7.$
Cách 2:
$MA+MB=\sqrt{\left( 3t \right)^{2} +\left( \sqrt{20} \right)^{2} }+\sqrt{\left( 6-3t \right)^{2} +\left( \sqrt{20} \right)^{2} }\geq \sqrt{\left( 3t+6-3t \right)^{2} +\left( 2\sqrt{20} \right)^{2} }=2\sqrt{29}.$
Suy ra $\left( MA+MB \right)Min=2\sqrt{29}$ khi và chỉ khi $\frac{3t}{\sqrt{20} }=\frac{6-3t}{\sqrt{20} }\Leftrightarrow t=1.$
Suy ra $M\left( 1\,;\,0\,;\,2 \right)$. Do đó $a=1\,;\,\,b=0\,\,;\,\,c=2\,\,\Rightarrow \,\,a+2b+3c=7.$