Trong hoạt động mở đầu bài học, cho biết khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là $600\,\text{km}$, vận tốc sóng vô tuyến là $300000\,\text{km/s}$ và thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ hai trạm trên bờ biển luôn cách nhau 0,0012 $s$ (hai trạm vô tuyến phát các tín hiệu cùng một thời điểm). Viết phương trình chính tắc của quỹ đạo hypebol $(H)$ của con tàu.

Question

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ $O$ trùng với trung điểm của $F_{1}F_{2}$, đơn vị trên các trục là km. Giả sử phương trình chính tắc của $(H)$ là $\frac{x^{2}}{a^{2} }-\frac{y^{2}}{b^{2} }=1(a>0, b>0)$. Gọi $t_{1}$ là thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ trạm $F_{1};t_{2}$ là thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ trạm $F_{2}$, v là vận tốc sóng vô tuyến. Theo đề bài ta có: $\left| t_{1}-t_{2}ight|=0,0012$ $\Rightarrow \left| vt_{1}-vt_{2}ight|=0,0012v=0,0012\cdot 300000=360(	ext{km}) \ \Rightarrow \left| MF_{1}-MF_{2}ight|=360 \forall M \ \Rightarrow 2a=360\Rightarrow a=180.$ Có khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là $600\,	ext{km}\Rightarrow 2c=600\Rightarrow c=300$ $\Rightarrow b^{2} =c^{2} -a^{2} =300^{2} -180^{2} =57600.$ Vậy phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^{2}}{32400}-\frac{y^{2}}{57600}=1$.

Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 14