Trong không gian với hệ tọa độ $ Oxyz $, cho hai đường thẳng $ d_{ 1 } :\,\,\frac { x-1 } { 1 }=\frac { y-3 } { 1 }=\frac { z-2 } { -2 } $ và $ d_{ 2 } :\,\,\frac { x-1 } { 2 }=\frac { y } { -1 }=\frac { z+1 } { -1 } $.

$ d_{ 1 } :\,\,\frac { x-1 } { 1 }=\frac { y-3 } { 1 }=\frac { z-2 } { -2 } $ có véctơ chỉ phương $ \overset\rightarrow { u_{ 1 } }=\left ( { 1;\,1;\,-2 } \right ) $ và đi qua $ M\left ( { 1;\,3;\,2 } \right ) $ $ d_{ 2 } :\,\,\frac { x-1 } { 2 }=\frac { y } { -1 }=\frac { z+1 } { -1 } $ có véctơ chỉ phương $ \overset\rightarrow { u_{ 2 } }=\left ( { 2;\,-1;\,-1 } \right ) $ và đi qua $ N\left ( { 1;\,0;\,-1 } \right ) $ a) sai. Vì $ \frac { 2-1 } { 1 }=\frac { 4-3 } { 1 }\neq \frac { 4-2 } { -2 } $ nên đường thẳng $ d_{ 1 } $ không đi qua điểm $ A\left ( { 2;\,4;\,4 } \right ) $. b) đúng. Gọi $ Δ $ là đường thẳng vuông góc với cả $ d_{ 1 } $ và $ d_{ 2 } $ và $ \overset\rightarrow { v } $ là véctơ chỉ phương của $ Δ $. Khi đó ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \overset\rightarrow { v }⊥\overset\rightarrow { u_{ 1 } } \\ \overset\rightarrow { v }⊥\overset\rightarrow { u_{ 2 } } \end{array} \right. $. Chọn $ \overset\rightarrow { v }=\left[ \overset\rightarrow { u_{ 1 } },\overset\rightarrow { u_{ 2 } } \right]=\left ( { -3;\,\,-3;\,\,-3 } \right ) $ hay $ \overset\rightarrow { u }=\left ( { 1;\,1;\,1 } \right ) $ c) đúng. Ta có $ \left[ \overset\rightarrow { u_{ 1 } },\overset\rightarrow { u_{ 2 } } \right]=\left ( { -3;\,\,-3;\,\,-3 } \right ) $; $ \overset\rightarrow { MN }=\left ( { 0;\,-3;\,-3 } \right ) $ Suy ra $ \overset\rightarrow { MN }.\left[ \overset\rightarrow { u_{ 1 } },\overset\rightarrow { u_{ 2 } } \right]=0.\left ( { -{ \rm{ 3 } } } \right )+\left ( { -3 } \right ).\left ( { -3 } \right )+\left ( { -3 } \right ).\left ( { -3 } \right ) $$ =18\neq 0 $ Vậy đường thẳng $ d_{ 1 } $ và đường thẳng $ d_{ 2 } $ chéo nhau. d) sai. Gọi $ \left ( { P } \right ) $ là mặt phẳng chứa đường thẳng $ d_{ 1 } $ và song song với $ d_{ 2 } $. Suy ra $ \left ( { P } \right ) $ đi qua $ M\left ( { 1;\,3;\,2 } \right ) $ và có VTPT $ \overset\rightarrow { v }=\left[ \overset\rightarrow { u_{ 1 } },\overset\rightarrow { u_{ 2 } } \right]=\left ( { -3;\,\,-3;\,\,-3 } \right ) $. PT mặt phẳng $ \left ( { P } \right ):\,\,1.\left ( { x-1 } \right )+1.\left ( { y-3 } \right )+1.\left ( { z-2 } \right )=0 $$ ⇔x+y+z-6=0 $. Khi đó $ d\left ( { d_{ 1 } ,d_{ 2 } } \right )=d\left ( { d_{ 2 } ,\left ( { P } \right ) } \right ) $$ =d\left ( { N,\left ( { P } \right ) } \right ) $$ =\frac { \left | { 1+0+\left ( { -1 } \right )-6 } \right | } { \sqrt[] { 1 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } +1 ^ { 2 } } }=2\sqrt[] { 3 } $