Bài tập nâng cao · Bài 20
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 20
Từ các chữ số $0\,;\,1;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau sao cho mỗi số đó đều chia hết cho 18.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $X=\left\{ \begin{array}{l} 0\,;\,1;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7 \end{array} \right\}$
Giả sử số lập được có dạng $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}$, $a_{1} \neq 0$, $a_{i} \neq a_{j}$ với $i\neq j$, $i=1;6$, $j=1;6$.
Ta có $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} \vdots \,18$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} \vdots 9 \\ a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} \vdots 2 \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( { a_{1} +a_{2} +a_{3} +a_{4} +a_{5} +a_{6} } \right)\vdots 9 \\ a_{6} \vdots 2 \end{array} \right.$.
Vì $\left( { a_{1} +a_{2} +a_{3} +a_{4} +a_{5} +a_{6} } \right)\vdots 9$ nên ta có các trường hợp sau
Trường hợp 1: $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$, $a_{6}$ được chọn từ $X_{1} =\left\{ \begin{array}{l} 2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7 \end{array} \right\}$
Có 3 cách chọn chọn $a_{6}$.
Có $5!$ cách chọn chọn bộ 5 số $\left( { a_{1} \,;\,a_{2} \,;\,a_{3} \,;\,a_{4} \,;\,a_{5} } \right)$.
Suy ra có $3.5!=360$ số.
Trường hợp 2: $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$, $a_{6}$ được chọn từ $X_{2} =\left\{ \begin{array}{l} 0\,;\,1\,;\,2\,;\,4\,;\,5\,;\,6 \end{array} \right\}$
$a_{6} =0$, có $5!$ cách chọn bộ 5 số $\left( { a_{1} \,;\,a_{2} \,;\,a_{3} \,;\,a_{4} \,;\,a_{5} } \right)$.
$a_{6} \neq 0$ khi đó $a_{6}$ có 3 cách chọn, $a_{1}$ có 4 cách chọn và có $4!$ cách chọn bộ 4 số $\left( { a_{2} \,;\,a_{3} \,;\,a_{4} \,;\,a_{5} } \right)$. Suy ra có $5!+3.4.4!=408$ số.
Trường hợp 3: $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$, $a_{6}$ được chọn từ $X_{3} =\left\{ \begin{array}{l} 0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,5\,;\,7 \end{array} \right\}$
$a_{6} =0$, có $5!$ cách chọn bộ 5 số $\left( { a_{1} \,;\,a_{2} \,;\,a_{3} \,;\,a_{4} \,;\,a_{5} } \right)$.
$a_{6} \neq 0$ khi đó $a_{6}$ có 1 cách chọn, $a_{1}$ có 4 cách chọn và có $4!$ cách chọn bộ 4 số $\left( { a_{2} \,;\,a_{3} \,;\,a_{4} \,;\,a_{5} } \right)$.
Suy ra có $5!+1.4.4!=216$ số.
Vậy có $360+408+216=984$ số.
Giả sử số lập được có dạng $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6}$, $a_{1} \neq 0$, $a_{i} \neq a_{j}$ với $i\neq j$, $i=1;6$, $j=1;6$.
Ta có $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} \vdots \,18$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} \vdots 9 \\ a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5} a_{6} \vdots 2 \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( { a_{1} +a_{2} +a_{3} +a_{4} +a_{5} +a_{6} } \right)\vdots 9 \\ a_{6} \vdots 2 \end{array} \right.$.
Vì $\left( { a_{1} +a_{2} +a_{3} +a_{4} +a_{5} +a_{6} } \right)\vdots 9$ nên ta có các trường hợp sau
Trường hợp 1: $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$, $a_{6}$ được chọn từ $X_{1} =\left\{ \begin{array}{l} 2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\,;\,7 \end{array} \right\}$
Có 3 cách chọn chọn $a_{6}$.
Có $5!$ cách chọn chọn bộ 5 số $\left( { a_{1} \,;\,a_{2} \,;\,a_{3} \,;\,a_{4} \,;\,a_{5} } \right)$.
Suy ra có $3.5!=360$ số.
Trường hợp 2: $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$, $a_{6}$ được chọn từ $X_{2} =\left\{ \begin{array}{l} 0\,;\,1\,;\,2\,;\,4\,;\,5\,;\,6 \end{array} \right\}$
$a_{6} =0$, có $5!$ cách chọn bộ 5 số $\left( { a_{1} \,;\,a_{2} \,;\,a_{3} \,;\,a_{4} \,;\,a_{5} } \right)$.
$a_{6} \neq 0$ khi đó $a_{6}$ có 3 cách chọn, $a_{1}$ có 4 cách chọn và có $4!$ cách chọn bộ 4 số $\left( { a_{2} \,;\,a_{3} \,;\,a_{4} \,;\,a_{5} } \right)$. Suy ra có $5!+3.4.4!=408$ số.
Trường hợp 3: $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{4}$, $a_{5}$, $a_{6}$ được chọn từ $X_{3} =\left\{ \begin{array}{l} 0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,5\,;\,7 \end{array} \right\}$
$a_{6} =0$, có $5!$ cách chọn bộ 5 số $\left( { a_{1} \,;\,a_{2} \,;\,a_{3} \,;\,a_{4} \,;\,a_{5} } \right)$.
$a_{6} \neq 0$ khi đó $a_{6}$ có 1 cách chọn, $a_{1}$ có 4 cách chọn và có $4!$ cách chọn bộ 4 số $\left( { a_{2} \,;\,a_{3} \,;\,a_{4} \,;\,a_{5} } \right)$.
Suy ra có $5!+1.4.4!=216$ số.
Vậy có $360+408+216=984$ số.