Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 59

Chia khối đa diện $ ABCSB'C' $ thành 2 khối là khối chóp $ A.BCC'B' $ và khối chóp $ S.BCC'B' $
$ V_{ ABCSB'C' } =V_{ ABCC'B' } +V_{ S.BCC'B' } $
Gọi M là trung điểm BC.
Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} AM⊥BC \\ AM⊥BB' \end{array} \right.\Rightarrow AM⊥\left ( { BCC'B' } \right ) $. Tam giác ABC đều $ \Rightarrow AM=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $.
Thể tích khối chóp $ A.BCC'B' $ là:
$ V_{ A.BCC'B' } =\frac { 1 } { 3 }AM.S_{ BCC'B' } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }.a ^ { 2 } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 6 } $.
Thể tích khối chóp $ S.BCC'B' $ là:
$ \frac { V_{ S.BCC'B' } } { V_{ A.BCC'B' } }=\frac { \frac { 1 } { 3 }d\left ( { S;\left ( { BCC'B' } \right ) } \right ).S_{ BCC'B' } } { \frac { 1 } { 3 }d\left ( { A;\left ( { BCC'B' } \right ) } \right ).S_{ BCC'B' } } $
$ =\frac { d\left ( { S;\left ( { BCC'B' } \right ) } \right ) } { d\left ( { A;\left ( { BCC'B' } \right ) } \right ) }=\frac { SI } { AI }=1 $.
$ \Rightarrow V_{ S.BCC'B' } =V_{ A.BCC'B' } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 6 }\Rightarrow V_{ ABCSB'C' } =V_{ A.BCC'B' } +V_{ S.BCC'B' } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 6 }+\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 6 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 3 } $