Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 58

Theo tính chất trọng tâm của tam giác, ta có các đường thẳng $ BM,{ \rm{ } }DQ,{ \rm{ } }SA $ đồng quy tại trung điểm $ E $ của $ SA $. Tương tự, các đường thẳng $ BN,{ \rm{ } }DP,{ \rm{ } }SC $ đồng quy tại trung điểm $ F $ của $ SC $.
Ta phân chia khối đa diện lồi có đỉnh là các điểm $ M,{ \rm{ } }N,{ \rm{ } }P,{ \rm{ } }Q,{ \rm{ } }B $ và $ D $ thành khối chóp $ B.MNPQ $ và khối tứ diện $ BDPQ $.
Cũng theo tính chất trọng tâm, ta có mặt phẳng $ \left ( { MNPQ } \right ) $ song song với mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ và $ S_{ MNPQ } =\frac { 4 } { 9 }S_{ XYZT } =\frac { 4 } { 9 }.\frac { 1 } { 2 }S_{ ABCD } =\frac { 2 } { 9 }S_{ ABCD } $ (trong đó $ X,{ \rm{ } }Y,{ \rm{ } }Z,{ \rm{ } }T $ lần lượt là trung điểm của $ AB,{ \rm{ } }BC,{ \rm{ } }CD,{ \rm{ } }DA $).
Hơn nữa, $ d\left[ B,\left ( { MNPQ } \right ) \right]=d\left[ X,\left ( { MNPQ } \right ) \right]=\frac { 1 } { 2 }d\left[ S,\left ( { MNPQ } \right ) \right]=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 2 } { 3 }d\left[ S,\left ( { ABCD } \right ) \right]=\frac { 1 } { 3 }d\left[ S,\left ( { ABCD } \right ) \right]. $Do đó, $ V_{ B.MNPQ } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { 2 } { 9 }V_{ S.ABCD } =\frac { 2 } { 27 }V_{ S.ABCD } { \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }\left ( { 1 } \right ) $.
Lại có
$ V_{ BDPQ } =\frac { 4 } { 9 }V_{ BDEF } { \rm{ } }\left ( { { \rm{ d } }{ \rm{ o } }{ \rm{ } }S_{ DPQ } =\frac { 4 } { 9 }S_{ DEF } } \right ) \\ { \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }=\frac { 4 } { 9 }.2V_{ ODEF } \left ( { { \rm{ d } }{ \rm{ o } }{ \rm{ } }d\left[ B,\left ( { DEF } \right ) \right]=2d\left[ O,\left ( { DEF } \right ) \right] } \right ) \\ { \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }=\frac { 4 } { 9 }.2.\frac { 1 } { 4 }V_{ SACD } \left ( { { \rm{ d } }{ \rm{ o } }{ \rm{ } }S_{ OEF } =\frac { 1 } { 4 }S_{ SAC } } \right ) \\ { \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }=\frac { 4 } { 9 }.2.\frac { 1 } { 4 }.\frac { 1 } { 2 }V_{ S.ABCD } { \rm{ } }{ \rm{ = } }\frac { 1 } { 9 }V_{ S.ABCD } { \rm{ } }{ \rm{ } }\left ( { 2 } \right ) $
trong đó, $ O $ là tâm của hình bình hành $ ABCD $.
Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 2 } \right ) $, ta được $ V_{ MNPQBD } =\left ( { \frac { 2 } { 27 }+\frac { 1 } { 9 } } \right )V_{ S.ABCD } =\left ( { \frac { 2 } { 27 }+\frac { 1 } { 9 } } \right ).\frac { 1 } { 3 }.9.10=\frac { 50 } { 9 } $ (đvtt).