Bài tự luận · Bài 11
Dạng 2. Tìm nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện cho trước
Bài tự luận Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 11
(CD11) Tìm nghiệm của phương trình:
a) $\sin\left( 2x+\frac{2\pi}{5} \right)=0$ với $x\in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$;
b) $\tan\left( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{6} \right)=-1$ với $x\in \left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$.
a) $\sin\left( 2x+\frac{2\pi}{5} \right)=0$ với $x\in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$;
b) $\tan\left( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{6} \right)=-1$ với $x\in \left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $\sin\left( 2x+\frac{2\pi}{5} \right)=0\Leftrightarrow 2x+\frac{2\pi}{5}=k\pi \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{5}+k\frac{\pi}{2}$.
Do $x\in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$ nên $\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{5}+k\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{2}\Leftrightarrow \frac{7}{5} < k < \frac{17}{5}$.
Mà $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \{2;3\}$. Vậy $x\in \left\{ \frac{4\pi}{5};\frac{13\pi}{10} \right\}$.
b) $\tan\left( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{6} \right)=-1\Leftrightarrow \frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{4}+k\pi \Leftrightarrow x=-\frac{5\pi}{6}+k2\pi$.
Do $x\in \left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$ nên $-\frac{\pi}{2} < -\frac{5\pi}{6}+k2\pi < \frac{\pi}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{6} < k < \frac{2}{3}$.
Mà $k\in \mathbb{Z}$ nên không có giá trị nào của $k$ thoả mãn. Vậy phương trình không có nghiệm trên khoảng $\left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$.
Do $x\in \left( \frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2} \right)$ nên $\frac{\pi}{2} < -\frac{\pi}{5}+k\frac{\pi}{2} < \frac{3\pi}{2}\Leftrightarrow \frac{7}{5} < k < \frac{17}{5}$.
Mà $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \{2;3\}$. Vậy $x\in \left\{ \frac{4\pi}{5};\frac{13\pi}{10} \right\}$.
b) $\tan\left( \frac{x}{2}+\frac{\pi}{6} \right)=-1\Leftrightarrow \frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{4}+k\pi \Leftrightarrow x=-\frac{5\pi}{6}+k2\pi$.
Do $x\in \left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$ nên $-\frac{\pi}{2} < -\frac{5\pi}{6}+k2\pi < \frac{\pi}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{6} < k < \frac{2}{3}$.
Mà $k\in \mathbb{Z}$ nên không có giá trị nào của $k$ thoả mãn. Vậy phương trình không có nghiệm trên khoảng $\left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$.