Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 10
Người ta muốn xây một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật, thể tích 1800 m³ và chiều sâu 2 m (Hình).
Biết rằng chi phí xây mỗi đơn vị diện tích của đáy bể gấp hai lần so với thành bể. Cần chọn chiều dài và chiều rộng của bể bằng bao nhiêu để tiết kiệm chi phí xây dựng bể nhất?
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $a$ là chi phí xây mỗi mét vuông thành bể.
Do bể có thể tích 1800 m³ nên $2xy=1800\Rightarrow y=\frac{900}{x}$.
Chi phí để xây bể là $P=a(2xy+4x+4y)=a\left(1800+4x+\frac{3600}{x}\right)=4a\left(450+x+\frac{900}{x}\right)$ ($x>0$).
Xét hàm số $f(x)=450+x+\frac{900}{x}$ trên $(0;+\infty)$.
$f'(x)=1-\frac{900}{x^2}$; $f'(x)=0\Leftrightarrow x^2=900\Leftrightarrow x=30\in(0;+\infty)$.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên, ta có $\min_{(0;+\infty)}f(x)=f(30)=510$. Khi $x=30$ thì $y=30$.
Vậy để tiết kiệm chi phí xây dựng bể nhất, cần chọn các kích thước $x=y=30$ m.
