Bài tự luận · Bài 17
Dạng 4. Tính tuần hoàn của hàm số lượng giác Phương pháp Định nghĩa: Hàm số $y=f(x)$ xác định trên tập $D$ được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số $T\neq 0$ sao cho với mọi $x\in D$ ta có $x\pm T\in D$ và $f(x+T)=f(x)$. Nếu có số $T$ dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần hoàn với chu kì $T$. *y = sin(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{2\pi}{\left| a \right|}$ *y = cos(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{2\pi}{\left| a \right|}$ *y = tan(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{\pi}{\left| a \right|}$ *y = cot(ax + b) có chu kỳ $T_{0}\,\,=\,\,\frac{\pi}{\left| a \right|}$ $\bullet$ y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2 Thì hàm số $y\,\,=\,\,f_{1}(x)\,\,\pm \,\,f_{2}(x)$ có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.
Bài tự luận Hàm số lượng giác · Bài 17
a) $y=A\sin(\omega x+\varphi )$ với $A>0$;
b) $y=A\tan(\omega x+\varphi )$ với $A>0$;
c) $y=3\sin 2x+3\cos 2x$
d) $y=3\sin\left( 2x+\frac{\pi}{6} \right)+3\sin\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right)$
Xem lời giải
Lời giải
$x+\frac{2\pi}{\omega}\in D,x-\frac{2\pi}{\omega}\in D$ và $f\left( x+\frac{2\pi}{\omega} \right)=A\sin\left( \omega\left( x+\frac{2\pi}{\omega} \right)+\varphi \right)=A\sin(\omega x+2\pi +\varphi )=A\sin(\omega x+\varphi )=f(x).$
Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn. Chú ý rằng, chu kì của hàm số này là $\frac{2\pi}{\omega}$.
Tương tự, hàm số $y=A\cos(\omega x+\varphi )$ cũng tuần hoàn chu kì $\frac{2\pi}{\omega}$.
b) Nếu kí hiệu $D$ là tập xác định của hàm số $f(x)=A\tan(\omega x+\varphi )$ thì với mọi $x\in D$, ta có:
$x+\frac{\pi}{\omega}\in D,\quad x-\frac{\pi}{\omega}\in D$ và $f\left( x+\frac{\pi}{\omega} \right)=A\tan\left( \omega\left( x+\frac{\pi}{\omega} \right)+\varphi \right)=A\tan(\omega x+\pi +\varphi )=A\tan(\omega x+\varphi )=f(x).$
Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn. Chú ý rằng, chu kì của hàm số này là $\frac{\pi}{\omega}$.
Chú ý. Tương tự, hàm số $y=A\cot(\omega x+\varphi )$ cũng tuần hoàn chu kì $\frac{\pi}{\omega}$.
c) Ta có $3\sin 2x+3\cos 2x=3\sqrt{2}\sin\left( 2x+\frac{\pi}{4} \right)$.
Theo câu $a$, hàm số $y=3\sin 2x+3\cos 2x$ tuần hoàn chu kì $\pi$.
d) Ta có
$3\sin\left( 2x+\frac{\pi}{6} \right)+3\sin\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right)=3\cdot 2\sin\frac{\left( 2x+\frac{\pi}{6} \right)+\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right)}{2}\cos\frac{\left( 2x+\frac{\pi}{6} \right)-\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right)}{2}=3\sqrt{2}\sin\left( 2x-\frac{\pi}{12} \right)$
Vậy theo câu $a$, hàm số $y=3\sin\left( 2x+\frac{\pi}{6} \right)+3\sin\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right)$ là hàm số tuần hoàn chu kì $\pi$.