(KNTT11) Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $O$ là giao điểm của các đường chéo của hình hộp. Mặt phẳng qua $O$ và song song với mặt phẳng $(ABCD)$ cắt các cạnh $AA',BB',CC',DD'$ lần lượt tại $M,N,P,Q$.
a) Chứng minh rằng $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AA',BB'$, $CC',DD'$.
b) Chứng minh rằng $ABCD.MNPQ$ là hình hộp.
Xem lời giải
Lời giải
a) Áp dụng định lí Thalès cho ba mặt phẳng $(ABCD),(MNPQ),\left( A'B'C'D' \right)$ và hai cát tuyến $AA'$ và $DB'$ suy ra $\frac{AM}{MA'}=\frac{DO}{OB'}$. Vì $O$ là trung điểm của $DB'$ nên $M$ là trung điểm của $AA'$. Chứng minh tương tự với các điểm $N,P,Q$.
b) Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AA',BB'$ nên $MN\parallel AB$ và $MN=AB$. Tương tự $PQ\parallel CD$ và $PQ=CD$.
Vì $AB\parallel CD$ và $AB=CD$ nên $MN\parallel PQ$ và $MN=PQ$, suy ra $MNPQ$ là hình bình hành. Vì các đường thẳng $AM,BN,CP,DQ$ đôi một song song nên suy ra $ABCD.MNPQ$ là hình hộp.
