Bài tập nâng cao · Bài 1
Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 1
Cho hình chóp $ S.ABCD $có đáy $ ABCD $là hình thang vuông tại $ A $và $ D $,$ AB=3a $, $ AD=DC=a. $Gọi $ I $là trung điểm của $ AD $, biết hai mặt phẳng $ \left ( { SBI } \right ) $và$ \left ( { SCI } \right ) $cùng vuông góc với đáy và mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $tạo với đáy một góc $ 60 ^ { 0 } $. Tính khoảng cách từ trung điểm của cạnh $ SD $đến mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ). $
Xem lời giải
Lời giải
$ \left ( { SBI } \right ) $và$ \left ( { SCI } \right ) $cùng vuông góc với đáy $ \Rightarrow SI⊥\left ( { ABCD } \right ). $
Từ $ I $kẻ $ IP⊥BC $
$ \Rightarrow BC⊥SP \\ \Rightarrow \left ( { \left ( { SBC } \right );\left ( { ABCD } \right ) } \right )=∠SPI=60 ^ { 0 } . $
Gọi $ K $là trung điểm của $ SD $. Gọi $ Q=BC∩AD $, trong $ \left ( { SIP } \right ) $kẻ $ IH⊥SP. $
Ta có $ d\left ( { K;\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 2 }d\left ( { D;\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 4 }d\left ( { I;\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 4 }IH. $
Xét tam giác $ ICQ $có $ IP=\frac { CD.IQ } { QC }=\frac { 2a } { \sqrt[] { 5 } }. $
Xét tam giác $ SIP $vuông tại $ I $có $ SI=IPtan60 ^ { 0 } =\frac { 2a\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 5 } }. $
$ \frac { 1 } { IH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { IS ^ { 2 } }+\frac { 1 } { IP ^ { 2 } }\Rightarrow IH ^ { 2 } =\frac { 3a ^ { 2 } } { 5 }\Rightarrow IH=\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 5 }. $
Vậy$ d\left ( { K;\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 20 }. $
Từ $ I $kẻ $ IP⊥BC $
$ \Rightarrow BC⊥SP \\ \Rightarrow \left ( { \left ( { SBC } \right );\left ( { ABCD } \right ) } \right )=∠SPI=60 ^ { 0 } . $
Gọi $ K $là trung điểm của $ SD $. Gọi $ Q=BC∩AD $, trong $ \left ( { SIP } \right ) $kẻ $ IH⊥SP. $
Ta có $ d\left ( { K;\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 2 }d\left ( { D;\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 4 }d\left ( { I;\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 4 }IH. $
Xét tam giác $ ICQ $có $ IP=\frac { CD.IQ } { QC }=\frac { 2a } { \sqrt[] { 5 } }. $
Xét tam giác $ SIP $vuông tại $ I $có $ SI=IPtan60 ^ { 0 } =\frac { 2a\sqrt[] { 3 } } { \sqrt[] { 5 } }. $
$ \frac { 1 } { IH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { IS ^ { 2 } }+\frac { 1 } { IP ^ { 2 } }\Rightarrow IH ^ { 2 } =\frac { 3a ^ { 2 } } { 5 }\Rightarrow IH=\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 5 }. $
Vậy$ d\left ( { K;\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 20 }. $