Cho hình lăng trụ tam giác đều $ ABC.A'B'C' $ có tất cả các cạnh bằng $ a $. Tính khoảng cách $ d $ từ $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { A'BC } \right ) $.

Question

Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt Cho hình lăng trụ tam giác đều $ ABC.A'B'C' $ có tất cả các cạnh bằng $ a $. Tính khoảng cách $ d $ từ $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { A'BC } \right ) $.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/F. BAI TAP NANG CAO/image38.png] Gọi $ M $ là trung điểm cạnh $ BC $. Ta có tam giác $ ABC $ đều cạnh $ a $ nên $ AM⊥BC;AM=\sqrt[] { AB ^ { 2 } -BM ^ { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $. $ ABC.A'B'C' $ là hình lăng trụ tam giác đều nên $ A'A⊥\left ( { ABC } \right )\Rightarrow A'A⊥BC $ Do đó $ BC⊥\left ( { A'AM } \right ) $ và $ BC⊂\left ( { A'BC } \right ) $ nên $ \left ( { A'AM } \right )⊥\left ( { A'BC } \right ) $ theo giao tuyến $ A'M $. Kẻ $ AH⊥A'M\Rightarrow AH⊥\left ( { A'BC } \right ) $ hay $ d\left ( { A,\left ( { A'BC } \right ) } \right )=AH $. Lại có $ \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { A'A ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AM ^ { 2 } }\Leftrightarrow \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { a ^ { 2 } }+\frac { 4 } { 3a ^ { 2 } }\Leftrightarrow \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 7 } { 3a ^ { 2 } }\Leftrightarrow AH=\frac { a\sqrt[] { 21 } } { 7 } $. Vậy $ d\left ( { A,\left ( { A'BC } \right ) } \right )=\frac { a\sqrt[] { 21 } } { 7 } $.

Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 2