Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $, $ SA $ vuông góc với đáy và $ 2AB=BC=2a $. Gọi $ d_{ 1 } $ là khoảng cách từ $ C $ đến mặt $ \left ( { SAB } \right ) $ và $ d_{ 2 } $ là khoảng cách từ $ B $ đến mặt $ \left ( { SAC } \right ) $. Tính $ d=d_{ 1 } +d_{ 2 } $.

Question

Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $, $ SA $ vuông góc với đáy và $ 2AB=BC=2a $. Gọi $ d_{ 1 } $ là khoảng cách từ $ C $ đến mặt $ \left ( { SAB } \right ) $ và $ d_{ 2 } $ là khoảng cách từ $ B $ đến mặt $ \left ( { SAC } \right ) $. Tính $ d=d_{ 1 } +d_{ 2 } $.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-35. KHOANG CACH/F. BAI TAP NANG CAO/image65.png] Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} CB⊥AB{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } } \ CB⊥SA{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } } \ AB∩SA=A \ \end{array} \end{array} ight. $ $ \Rightarrow CB⊥\left ( { SAB } ight ) $$ \Rightarrow d_{ 1 } $$ =d\left ( { C,\left ( { SAB } ight ) } ight ) $$ =CB $$ =2a $. Gọi $ H $ là hình chiếu của $ B $ lên $ \left ( { SAC } ight ) $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} BH⊥AC{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } } \ BH⊥SA{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } }{ m{ } } \ AC∩SA=A \ \end{array} \end{array} ight. $ $ \Rightarrow BH⊥\left ( { SAC } ight ) $$ \Rightarrow d_{ 2 } $$ =d\left ( { B,\left ( { SAC } ight ) } ight ) $$ =BH $. Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $ có $ BH $ là đường cao. Ta có: $ BH=\frac { AB.BC } { \sqrt[] { AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } } } $$ =\frac { a.2a } { \sqrt[] { a ^ { 2 } +4a ^ { 2 } } } $$ =\frac { 2a\sqrt[] { 5 } } { 5 } $$ \Rightarrow d_{ 2 } =\frac { 2a\sqrt[] { 5 } } { 5 } $. Vậy $ d=d_{ 1 } +d_{ 2 } $$ =2a+\frac { 2a\sqrt[] { 5 } } { 5 } $$ =\frac { 2\left ( { 5+\sqrt[] { 5 } } ight )a } { 5 } $.

Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 3