Bài tập nâng cao · Bài 4
Dạng 1. Khoảng cách 1 điểm đến mặt
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 4
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật $ AB=a, $ $ AD=a\sqrt[] { 3 } $. Cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy và $ SA=2a $. Tính khoảng cách $ d $ từ điểm $ C $ đến mặt phẳng $ \left ( { SBD } \right ) $.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ H $ là hình chiếu cúa $ A $ lên $ BD $.
Gọi $ K $ là hình chiếu của $ A $ lên $ SH $.
Tam giác $ ABD $ vuông tại $ A $ có $ AH⊥BD $
$ \Leftrightarrow \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AD ^ { 2 } }=\frac { 1 } { a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { \left ( { a\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } } $
$ \Leftrightarrow AH ^ { 2 } =\frac { 3a ^ { 2 } } { 4 } $ $ \Leftrightarrow AH=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $
Tam giác $ SAH $vuông tại $ A $ có $ AK⊥SH $
$ \Leftrightarrow \frac { 1 } { AK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { \left ( { 2a } \right ) ^ { 2 } }+\frac { 1 } { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 19 } { 12a ^ { 2 } } $
$ \Leftrightarrow AK ^ { 2 } =\frac { 12a ^ { 2 } } { 19 } $$ \Leftrightarrow AK=\frac { 2a\sqrt[] { 57 } } { 19 }=d_{ \left ( { A,\left ( { SBD } \right ) } \right ) } $
Gọi $ I=AC∩\left ( { SBD } \right ) $ $ \Rightarrow \frac { AI } { CI }=\frac { d_{ \left ( { A,\left ( { SBD } \right ) } \right ) } } { d_{ \left ( { C,\left ( { SBD } \right ) } \right ) } } $. Mà $ ABCD $ là hình chữ nhật nên $ I $là trung điểm $ AC $ nên $ \frac { AI } { CI }=1 $ $ \Leftrightarrow d_{ \left ( { A,\left ( { SBD } \right ) } \right ) } =d_{ \left ( { C,\left ( { SBD } \right ) } \right ) } $ $ \Leftrightarrow d=\frac { 2a\sqrt[] { 57 } } { 19 } $.
Gọi $ K $ là hình chiếu của $ A $ lên $ SH $.
Tam giác $ ABD $ vuông tại $ A $ có $ AH⊥BD $
$ \Leftrightarrow \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AD ^ { 2 } }=\frac { 1 } { a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { \left ( { a\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } } $
$ \Leftrightarrow AH ^ { 2 } =\frac { 3a ^ { 2 } } { 4 } $ $ \Leftrightarrow AH=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $
Tam giác $ SAH $vuông tại $ A $ có $ AK⊥SH $
$ \Leftrightarrow \frac { 1 } { AK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { \left ( { 2a } \right ) ^ { 2 } }+\frac { 1 } { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 19 } { 12a ^ { 2 } } $
$ \Leftrightarrow AK ^ { 2 } =\frac { 12a ^ { 2 } } { 19 } $$ \Leftrightarrow AK=\frac { 2a\sqrt[] { 57 } } { 19 }=d_{ \left ( { A,\left ( { SBD } \right ) } \right ) } $
Gọi $ I=AC∩\left ( { SBD } \right ) $ $ \Rightarrow \frac { AI } { CI }=\frac { d_{ \left ( { A,\left ( { SBD } \right ) } \right ) } } { d_{ \left ( { C,\left ( { SBD } \right ) } \right ) } } $. Mà $ ABCD $ là hình chữ nhật nên $ I $là trung điểm $ AC $ nên $ \frac { AI } { CI }=1 $ $ \Leftrightarrow d_{ \left ( { A,\left ( { SBD } \right ) } \right ) } =d_{ \left ( { C,\left ( { SBD } \right ) } \right ) } $ $ \Leftrightarrow d=\frac { 2a\sqrt[] { 57 } } { 19 } $.