Cho $ f(x)=\sin\left ( { x+\frac { π } { 3 } } \right )\, $, $ g(x)={ \rm{ \cos } }\left ( { 2x-\frac { π } { 4 } } \right ) $. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Đúng. Phương trình $ f(x)=0 $ $ ⇔\sin\left ( { x+\frac { π } { 3 } } \right )=0⇔x+\frac { π } { 3 }=kπ⇔x=-\frac { π } { 3 }+kπ. $ Vì $ x∈\left ( { -π,π } \right )⇒-π < -\frac { π } { 3 }+kπ < π⇒-\frac { 2 } { 3 } < k < \frac { 4 } { 3 } $. Mà $ k∈\mathbb{Z}⇒k∈\left\{0;1\right\} $. Do vậy phương trình $ f(x)=0 $ có 2 nghiệm trong khoảng $ \left ( { -π,π } \right ) $. b) Sai. Phương trình $ g(x)=1⇔{ \rm{ \cos } }\left ( { 2x-\frac { π } { 4 } } \right )=1⇔2x-\frac { π } { 4 }=k2π⇔x=\frac { π } { 8 }+kπ\,\,\,\left ( { k∈\mathbb{Z} } \right ) $. Vì $ x∈\left ( { -π,π } \right )⇒-π < \frac { π } { 8 }+kπ < π⇒-\frac { 9 } { 8 } < k < \frac { 7 } { 8 } $. Mà $ k∈\mathbb{Z}⇒k∈\left\{-1;0\right\} $. Do vậy phương trình $ g(x)=1 $ có 2 nghiệm trong khoảng $ \left ( { -π,π } \right ) $. c) Sai. Phương trình $ f(x)=g(x) $$ ⇔ $ $ \sin\left ( { x+\frac { π } { 3 } } \right )\,={ \rm{ \cos } }\left ( { 2x-\frac { π } { 4 } } \right ) $ $ ⇔\sin\left ( { x+\frac { π } { 3 } } \right )=\sin\left ( { \frac { π } { 2 }-\left ( { 2x-\frac { π } { 4 } } \right ) } \right ) $ $ ⇔\left[\begin{array}{l} x+\frac { π } { 3 }=\frac { 3π } { 4 }-2x+k2π \\ x+\frac { π } { 3 }=π-\left ( { \frac { 3π } { 4 }-2x } \right )+k2π \end{array}\right.⇔\left[\begin{array}{l} x=\frac { 5π } { 36 }+\frac { k2π } { 3 } \\ x=\frac { π } { 12 }+n2π \end{array}\right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left ( { k;n∈\mathbb{Z} } \right ) $. Ta có $ 0≤\frac { 5π } { 36 }+\frac { k2π } { 3 }≤2π⇔-\frac { 5 } { 24 }≤k≤\frac { 67 } { 24 } $. Suy ra $ k∈{ \rm{ \{ } }0;1;2\}⇒x=\frac { 53π } { 36 } $ là nghiệm dương lớn nhất trong đoạn $ \left[ 0;2π \right] $ của họ nghiệm này. Xét $ 0≤\frac { π } { 12 }+n2π≤2π⇔-\frac { 1 } { 24 }≤n≤\frac { 23 } { 24 } $. Suy ra $ n=0⇒x=\frac { π } { 12 } $là nghiệm dương duy nhất trong đoạn $ \left[ 0;2π \right] $ của họ nghiệm này. Từ 2 trường hợp trên ta có nghiệm dương lớn nhất của phương trình$ f(x)=g(x) $ trong đoạn $ \left[ 0;2π \right] $ là $ x=\frac { 53π } { 36 } $. d) Đúng. Phương trình $ \left[ f(x) \right] ^ { 2 } =\left[ g(x) \right] ^ { 2 } $ $ ⇔ $ $ \frac { 1-{ \rm{ \cos } }\left ( { 2x+\frac { 2π } { 3 } } \right ) } { 2 }=\frac { 1+{ \rm{ \cos } }\left ( { 4x-\frac { π } { 2 } } \right ) } { 2 } $ $ ⇔-{ \rm{ \cos } }\left ( { 2x+\frac { 2π } { 3 } } \right )={ \rm{ \cos } }\left ( { 4x-\frac { π } { 2 } } \right ) \\ ⇔{ \rm{ \cos } }\left ( { π-\left ( { 2x+\frac { 2π } { 3 } } \right ) } \right )={ \rm{ \cos } }\left ( { \frac { π } { 2 }-4x } \right ) \\ ⇔{ \rm{ \cos } }\left ( { 2x-\frac { π } { 3 } } \right )=\sin4x $ Vậy phương trình $ \left[ f(x) \right] ^ { 2 } =\left[ g(x) \right] ^ { 2 } $tương đương với phương trình $ { \rm{ \cos } }\left ( { 2x-\frac { π } { 3 } } \right )=\sin4x $.