Bài tập nâng cao · Bài 36
3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Nhận dạng: $a.\sin^{2} x+b\sin x\cos x+c.\cos^{2} x=d$ (1) $a.\cos^{2} x+b\sin x\cos x+c.\sin^{2} x=d$ B – Phương pháp làm Cách 1: + Nếu $\cos x=0\Rightarrow \sin^{2} x=1$ thì $a-d=0$ (1), nếu (1) đúng thì $\cos x=0$ là nghiệm của (1), ngược lại $\cos x\neq 0$. + Xét $\cos x\neq 0\Rightarrow \exists \tan x$. Chia hai vế của phương trình (1) cho $\cos^{2} x$, ta được: $(1)\Leftrightarrow a\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x }+b\frac{\sin x\cos x}{\cos^{2} x }+c\frac{\cos^{2} x}{\cos^{2} x }=d\frac{1}{\cos^{2} x } \\ \,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \left( a-d \right)\tan^{2} x+b\tan x+\left( c-d \right)=0$ Cách 2: Thay $\sin^{2} x=\frac{1}{2}\left( 1-\cos 2x \right)$, $\cos^{2} x=\frac{1}{2}\left( 1+\cos 2x \right)$, $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ ta được phương trình bậc nhất với $\sin 2x$ và $\cos 2x$.
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 36
1. $\sin 2x+2\tan x=3$ (*)
2. $\sin x\sin 2x+\sin 3x=6\cos^{3}x$ (*)
3. $\sin 3x+\cos 3x+2\cos x=0$ (1)
Xem lời giải
Lời giải
Do $\cos x=0$ không là nghiệm của (*) nên chia hai vế (*) cho $\cos^{2}x\neq 0$, ta được:
(*) $\Leftrightarrow \frac{2\sin x\cos x}{\cos^{2}x}+2\tan x.\frac{1}{\cos^{2}x}=3.\frac{1}{\cos^{2}x}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\tan x+2\tan x\left( 1+\tan^{2}x \right)=3\left( 1+\tan^{2}x \right) \\ \Leftrightarrow 2\tan^{3}x-3\tan^{2}x+4\tan x-3=0 \\ \Leftrightarrow \tan x=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi ,\,k\in\mathbb{Z} \end{array}$
2. Khi $x=\frac{\pi}{2}+k\pi ,\,k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \cos x=0\wedge \sin x=\pm 1\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.
Do $\cos x=0$ không là nghiệm của (*) nên chia hai vế (*) cho $\cos^{3}x\neq 0$, ta được:
(*) $\Leftrightarrow \frac{2\sin x\sin x\cos x}{\cos^{3}x}+\frac{3\sin x-4\sin^{3}x}{\cos^{3}x}=\frac{6\cos^{3}x}{\cos^{3}x}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}+3.\frac{\sin x}{\cos x}.\frac{1}{\cos^{2}x}-4\frac{\sin^{3}x}{\cos^{3}x}=6 \\ \Leftrightarrow 2\tan^{2}x+3\tan x\left( \tan^{2}x+1 \right)-4\tan^{3}x-6=0 \\ \Leftrightarrow \tan^{3}x-2\tan^{2}x-3\tan x+6=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=2=\tan\alpha \\ \tan x=\pm\sqrt{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\alpha +k\pi \\ x=\pm\frac{\pi}{3}+l\pi \end{array} \right.\left( k,\,l\in\mathbb{Z} \right) \end{array}$
3. (1) $\Leftrightarrow 3\sin x-4\sin^{3}x+4\cos^{3}x-3\cos x+2\cos x=0$
$\Leftrightarrow 3\sin x-4\sin^{3}x+4\cos^{3}x-\cos x=0$
Khi $x=\frac{\pi}{2}+k\pi ,\,k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \cos x=0\wedge \sin x=\pm 1\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.
Do $\cos x=0$ không là nghiệm của (*) nên chia hai vế (*) cho $\cos^{3}x\neq 0$, ta được:
(*) $\Leftrightarrow \frac{3\sin x}{\cos x}.\frac{1}{\cos^{2}x}-\frac{4\sin^{3}x}{\cos^{3}x}+\frac{4\cos^{3}x}{\cos^{3}x}-\frac{\cos x}{\cos x}.\frac{1}{\cos^{2}x}=0$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\tan x\left( 1+\tan^{2}x \right)-4\tan^{3}x+4-1-\tan^{2}x=0 \\ \Leftrightarrow -\tan^{3}x-\tan^{2}x+3\tan x+3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=-1 \\ \tan x=\pm\sqrt{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{4}+k\pi \\ x=\pm\frac{\pi}{3}+l\pi \end{array} \right.\left( k,\,l\in\mathbb{Z} \right) \end{array}$