Giải các phương trình sau
a) $2\sqrt{3}\cos^{2}x+6\sin x\cos x=3+\sqrt{3}$
b) $\sin^{3}\left( x-\frac{\pi}{4} \right)=\sqrt{2}\sin x$

Question

3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Nhận dạng: $a.\sin^{2} x+b\sin x\cos x+c.\cos^{2} x=d$ (1) $a.\cos^{2} x+b\sin x\cos x+c.\sin^{2} x=d$ B – Phương pháp làm Cách 1: + Nếu $\cos x=0\Rightarrow \sin^{2} x=1$ thì $a-d=0$ (1), nếu (1) đúng thì $\cos x=0$ là nghiệm của (1), ngược lại $\cos x
eq 0$. + Xét $\cos x
eq 0\Rightarrow \exists 	an x$. Chia hai vế của phương trình (1) cho $\cos^{2} x$, ta được: $(1)\Leftrightarrow a\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x }+b\frac{\sin x\cos x}{\cos^{2} x }+c\frac{\cos^{2} x}{\cos^{2} x }=d\frac{1}{\cos^{2} x } \ \,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \left( a-d ight)	an^{2} x+b	an x+\left( c-d ight)=0$ Cách 2: Thay $\sin^{2} x=\frac{1}{2}\left( 1-\cos 2x ight)$, $\cos^{2} x=\frac{1}{2}\left( 1+\cos 2x ight)$, $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ ta được phương trình bậc nhất với $\sin 2x$ và $\cos 2x$. Giải các phương trình sau a) $2\sqrt{3}\cos^{2}x+6\sin x\cos x=3+\sqrt{3}$ b) $\sin^{3}\left( x-\frac{\pi}{4} ight)=\sqrt{2}\sin x$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) Nhận thấy $\cos x=0$ không là nghiệm của phương trình, nên chia hai vế PT cho $\cos^{2}x$ được: $2\sqrt{3}+6	an x=\left( 3+\sqrt{3} ight)\left( 1+	an^{2}x ight)$ $\Leftrightarrow \left( 3+\sqrt{3} ight)	an^{2}x-6	an x+3-\sqrt{3}=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 	an x=1 \ 	an x=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} \end{array} ight.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{4}+k\pi \ x=\alpha +k\pi \,,\,\left( 	an\alpha =\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} ight) \end{array} ight.,\,\left( k\in\mathbb{Z} ight)$. b) PT $\Leftrightarrow 2\sqrt{2}\sin^{3}\left( x-\frac{\pi}{4} ight)=4\sin x$ $\Leftrightarrow \left[ \sqrt{2}\sin\left( x-\frac{\pi}{4} ight) ight]^{3}=4\sin x$ $\Leftrightarrow \left( \sin x-\cos x ight)^{3}=4\sin x$ Nhận thấy $\cos x=0$ không là nghiệm của phương trình, nên chia hai vế PT cho $\cos^{3}x$ được: $\left( 	an x-1 ight)^{3}=4	an x.\left( 1+	an^{2}x ight)$ $\Leftrightarrow 3	an^{3}x+3	an^{2}x+	an x+1=0$ $\Leftrightarrow 	an x=-1$ $\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k\pi \,,\,\left( k\in\mathbb{Z} ight)$.

Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 35