Bài tập nâng cao · Bài 34
3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Nhận dạng: $a.\sin^{2} x+b\sin x\cos x+c.\cos^{2} x=d$ (1) $a.\cos^{2} x+b\sin x\cos x+c.\sin^{2} x=d$ B – Phương pháp làm Cách 1: + Nếu $\cos x=0\Rightarrow \sin^{2} x=1$ thì $a-d=0$ (1), nếu (1) đúng thì $\cos x=0$ là nghiệm của (1), ngược lại $\cos x\neq 0$. + Xét $\cos x\neq 0\Rightarrow \exists \tan x$. Chia hai vế của phương trình (1) cho $\cos^{2} x$, ta được: $(1)\Leftrightarrow a\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x }+b\frac{\sin x\cos x}{\cos^{2} x }+c\frac{\cos^{2} x}{\cos^{2} x }=d\frac{1}{\cos^{2} x } \\ \,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \left( a-d \right)\tan^{2} x+b\tan x+\left( c-d \right)=0$ Cách 2: Thay $\sin^{2} x=\frac{1}{2}\left( 1-\cos 2x \right)$, $\cos^{2} x=\frac{1}{2}\left( 1+\cos 2x \right)$, $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ ta được phương trình bậc nhất với $\sin 2x$ và $\cos 2x$.
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 34
Giải các phương trình sau
a) $\sin x-\cos x=4\sin x.\cos^{2}x$
b) $\sin 2x+2\tan x=3$
c) $6\sin x-2\cos^{3}x=\frac{5\sin 4x\cos x}{2\cos 2x}$
d) $\sin^{4}x+\cos^{4}x=-\frac{5}{4}\sin 2x\cos 2x-\frac{1}{4}\cos^{2}2x+\frac{3}{2}$
a) $\sin x-\cos x=4\sin x.\cos^{2}x$
b) $\sin 2x+2\tan x=3$
c) $6\sin x-2\cos^{3}x=\frac{5\sin 4x\cos x}{2\cos 2x}$
d) $\sin^{4}x+\cos^{4}x=-\frac{5}{4}\sin 2x\cos 2x-\frac{1}{4}\cos^{2}2x+\frac{3}{2}$
Xem lời giải
Lời giải
a) Nhận thấy $\cos x=0$ không là nghiệm của phương trình, nên chia hai vế PT cho $\cos^{3}x$ được: $\frac{\sin x}{\cos^{3}x}-\frac{1}{\cos^{2}x}=4.\frac{\sin x}{\cos x}$ $\Leftrightarrow \tan x.\left( 1+\tan^{2}x \right)-\left( 1+\tan^{2}x \right)=4\tan x$ $\Leftrightarrow \tan^{3}x-\tan^{2}x-3\tan x-1=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=-1 \\ \tan x=1+\sqrt{2} \\ \tan x=1-\sqrt{2} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=\tan\left( -\frac{\pi}{4} \right) \\ \tan x=\tan\alpha \,\,\left( \tan\alpha =1+\sqrt{2} \right) \\ \tan x=\tan\beta \,\,\left( \tan\beta =1-\sqrt{2} \right) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{4}+k\pi \\ x=\alpha +k\pi \\ x=\beta +k\pi \end{array} \right.,\,\,\left( k\in\mathbb{Z} \right)$
b) ĐK $\cos x\neq 0$. PT $\Leftrightarrow 2\sin x\cos x+2.\frac{\sin x}{\cos x}=3$ $\Leftrightarrow 2\sin x\cos^{2}x+2\sin x=3\cos x$ $\Leftrightarrow 2\left( \sin x-\cos x \right)=\cos x.\left( 1-2\sin x\cos x \right)$ $\Leftrightarrow 2\left( \sin x-\cos x \right)=\cos x.\left( \sin x-\cos x \right)^{2}$ $\Leftrightarrow \left( \sin x-\cos x \right)\left[ 2-\cos x\left( \sin x-\cos x \right) \right]=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x-\cos x=0 \\ 2-\cos x\sin x+\cos^{2}x=0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt{2}.\sin\left( x-\frac{\pi}{4} \right)=0 \\ \frac{2}{\cos^{2}x}-\tan x+1=0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin\left( x-\frac{\pi}{4} \right)=0 \\ 2\tan^{2}x-\tan x+3=0 \end{array} \right.$.
c) ĐK $\cos 2x\neq 0\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi}{4}+l\frac{\pi}{2}$. PT $\Leftrightarrow 6\sin x-2\cos^{3}x=\frac{5.2\sin 2x\cos 2x.\cos x}{2\cos 2x}$ $\Leftrightarrow 6\sin x-2\cos^{3}x=10\sin x.\cos^{2}x$ $\Leftrightarrow 6.\frac{\sin x}{\cos^{3}x}-2=10.\frac{\sin x}{\cos x}$ $\Leftrightarrow 6\tan x.\left( 1+\tan^{2}x \right)-2=10\tan x$ $\Leftrightarrow 3\tan^{3}x-2\tan x-1=0$ $\Leftrightarrow \tan x=1$ $\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi$. So với ĐK khi $\frac{\pi}{4}+k\pi =\frac{\pi}{4}+l\frac{\pi}{2}$ $\Leftrightarrow k=\frac{l}{2}$ luôn luôn tồn tại số nguyên $l$ thoả mãn. Vậy phại loại tất cả nghiệm, nên PT vô nghiệm.
d) PT $\Leftrightarrow \left( \frac{1-\cos 2x}{2} \right)^{2}+\left( \frac{1+\cos 2x}{2} \right)^{2}=-\frac{5}{4}\sin 2x\cos 2x-\frac{1}{4}\cos^{2}2x+\frac{3}{2}$ $\Leftrightarrow 1-2\cos 2x+\cos^{2}2x+1+2\cos 2x+\cos^{2}2x=-5\sin 2x\cos 2x-\cos^{2}2x+6$ $\Leftrightarrow 3\cos^{2}2x+5\sin 2x\cos 2x-4=0$;
Nhận thấy $\cos 2x=0$ không phải là nghiệm PT, chia hai vế PT cho $\cos^{2}2x$ được: $3+5.\frac{\sin 2x}{\cos 2x}-\frac{4}{\cos^{2}2x}=0$ $\Leftrightarrow 3+5\tan 2x-4\left( 1+\tan^{2}2x \right)=0$ $\Leftrightarrow -4\tan^{2}2x+5\tan 2x-1=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan 2x=1 \\ \tan 2x=\frac{1}{4} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x=\frac{\pi}{4}+k\pi \\ 2x=\alpha +k\pi \,,\,\left( \tan\alpha =\frac{1}{4} \right) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2} \\ x=\frac{\alpha}{2}+k\frac{\pi}{2} \end{array} \right.\,,\,\left( k\in\mathbb{Z} \right)$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=-1 \\ \tan x=1+\sqrt{2} \\ \tan x=1-\sqrt{2} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=\tan\left( -\frac{\pi}{4} \right) \\ \tan x=\tan\alpha \,\,\left( \tan\alpha =1+\sqrt{2} \right) \\ \tan x=\tan\beta \,\,\left( \tan\beta =1-\sqrt{2} \right) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{4}+k\pi \\ x=\alpha +k\pi \\ x=\beta +k\pi \end{array} \right.,\,\,\left( k\in\mathbb{Z} \right)$
b) ĐK $\cos x\neq 0$. PT $\Leftrightarrow 2\sin x\cos x+2.\frac{\sin x}{\cos x}=3$ $\Leftrightarrow 2\sin x\cos^{2}x+2\sin x=3\cos x$ $\Leftrightarrow 2\left( \sin x-\cos x \right)=\cos x.\left( 1-2\sin x\cos x \right)$ $\Leftrightarrow 2\left( \sin x-\cos x \right)=\cos x.\left( \sin x-\cos x \right)^{2}$ $\Leftrightarrow \left( \sin x-\cos x \right)\left[ 2-\cos x\left( \sin x-\cos x \right) \right]=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x-\cos x=0 \\ 2-\cos x\sin x+\cos^{2}x=0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt{2}.\sin\left( x-\frac{\pi}{4} \right)=0 \\ \frac{2}{\cos^{2}x}-\tan x+1=0 \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin\left( x-\frac{\pi}{4} \right)=0 \\ 2\tan^{2}x-\tan x+3=0 \end{array} \right.$.
c) ĐK $\cos 2x\neq 0\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi}{4}+l\frac{\pi}{2}$. PT $\Leftrightarrow 6\sin x-2\cos^{3}x=\frac{5.2\sin 2x\cos 2x.\cos x}{2\cos 2x}$ $\Leftrightarrow 6\sin x-2\cos^{3}x=10\sin x.\cos^{2}x$ $\Leftrightarrow 6.\frac{\sin x}{\cos^{3}x}-2=10.\frac{\sin x}{\cos x}$ $\Leftrightarrow 6\tan x.\left( 1+\tan^{2}x \right)-2=10\tan x$ $\Leftrightarrow 3\tan^{3}x-2\tan x-1=0$ $\Leftrightarrow \tan x=1$ $\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi$. So với ĐK khi $\frac{\pi}{4}+k\pi =\frac{\pi}{4}+l\frac{\pi}{2}$ $\Leftrightarrow k=\frac{l}{2}$ luôn luôn tồn tại số nguyên $l$ thoả mãn. Vậy phại loại tất cả nghiệm, nên PT vô nghiệm.
d) PT $\Leftrightarrow \left( \frac{1-\cos 2x}{2} \right)^{2}+\left( \frac{1+\cos 2x}{2} \right)^{2}=-\frac{5}{4}\sin 2x\cos 2x-\frac{1}{4}\cos^{2}2x+\frac{3}{2}$ $\Leftrightarrow 1-2\cos 2x+\cos^{2}2x+1+2\cos 2x+\cos^{2}2x=-5\sin 2x\cos 2x-\cos^{2}2x+6$ $\Leftrightarrow 3\cos^{2}2x+5\sin 2x\cos 2x-4=0$;
Nhận thấy $\cos 2x=0$ không phải là nghiệm PT, chia hai vế PT cho $\cos^{2}2x$ được: $3+5.\frac{\sin 2x}{\cos 2x}-\frac{4}{\cos^{2}2x}=0$ $\Leftrightarrow 3+5\tan 2x-4\left( 1+\tan^{2}2x \right)=0$ $\Leftrightarrow -4\tan^{2}2x+5\tan 2x-1=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan 2x=1 \\ \tan 2x=\frac{1}{4} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x=\frac{\pi}{4}+k\pi \\ 2x=\alpha +k\pi \,,\,\left( \tan\alpha =\frac{1}{4} \right) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2} \\ x=\frac{\alpha}{2}+k\frac{\pi}{2} \end{array} \right.\,,\,\left( k\in\mathbb{Z} \right)$.