Giải các phương trình sau
a) $\sin 3x+\cos 3x+2\cos x=0$
b) $\sin x-4\sin^{3}x+\cos x=0$
c) $\cos^{3}x-\sin^{3}x=\sin x-\cos x$
d) $2\sin^{3}x-\cos x.\sin^{2}x+2\cos^{2}x.\sin x-\cos^{3}x=0$

Question

3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Nhận dạng: $a.\sin^{2} x+b\sin x\cos x+c.\cos^{2} x=d$ (1) $a.\cos^{2} x+b\sin x\cos x+c.\sin^{2} x=d$ B – Phương pháp làm Cách 1: + Nếu $\cos x=0\Rightarrow \sin^{2} x=1$ thì $a-d=0$ (1), nếu (1) đúng thì $\cos x=0$ là nghiệm của (1), ngược lại $\cos x
eq 0$. + Xét $\cos x
eq 0\Rightarrow \exists 	an x$. Chia hai vế của phương trình (1) cho $\cos^{2} x$, ta được: $(1)\Leftrightarrow a\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x }+b\frac{\sin x\cos x}{\cos^{2} x }+c\frac{\cos^{2} x}{\cos^{2} x }=d\frac{1}{\cos^{2} x } \ \,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \left( a-d ight)	an^{2} x+b	an x+\left( c-d ight)=0$ Cách 2: Thay $\sin^{2} x=\frac{1}{2}\left( 1-\cos 2x ight)$, $\cos^{2} x=\frac{1}{2}\left( 1+\cos 2x ight)$, $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ ta được phương trình bậc nhất với $\sin 2x$ và $\cos 2x$. Giải các phương trình sau a) $\sin 3x+\cos 3x+2\cos x=0$ b) $\sin x-4\sin^{3}x+\cos x=0$ c) $\cos^{3}x-\sin^{3}x=\sin x-\cos x$ d) $2\sin^{3}x-\cos x.\sin^{2}x+2\cos^{2}x.\sin x-\cos^{3}x=0$

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: a) PT $\Leftrightarrow 3\sin x-4\sin^{3}x+4\cos^{3}x-\cos x=0$, nhận thấy $\cos x=0$ không là nghiệm của PT, chia hai vế cho $\cos^{3}x$ ta được: $-4	an^{3}x+4-\frac{1}{\cos^{2}x}+3.\frac{\sin x}{\cos^{3}x}=0$ $\Leftrightarrow -4	an^{3}x+4-\left( 1+	an^{2}x ight)+3	an x\left( 1+	an^{2}x ight)=0$ $\Leftrightarrow -	an^{3}x-	an^{2}x+3	an x+3=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 	an x=-1 \ 	an x=\pm\sqrt{3} \end{array} ight.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{4}+k\pi \ x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi \end{array} ight.\,,\,k\in\mathbb{Z}$. b) Nhận thấy $\cos x=0$ không là nghiệm của PT, chia hai vế cho $\cos^{3}x$ ta được: $\frac{\sin x}{\cos^{3}x}-4	an^{3}x+\frac{1}{\cos^{2}x}=0$ $\Leftrightarrow 	an x\left( 1+	an^{2}x ight)-4	an^{3}x+1+	an^{2}x=0$ $\Leftrightarrow -3	an^{3}x+	an^{2}x+	an x+1=0$ $\Leftrightarrow 	an x=1$ $\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi \,,\,k\in\mathbb{Z}$. c) PT $\Leftrightarrow \left( \cos x-\sin x ight)\left( \cos^{2}x+\cos x\sin x+\sin^{2}x+1 ight)=0$ $\left[ \begin{array}{l} \cos x-\sin x=0 \ \cos^{2}x+\cos x\sin x+\sin^{2}x+1=0 \end{array} ight.$ $\left[ \begin{array}{l} \cos x=\sin x \ 2+\frac{1}{2}\sin 2x=0 \end{array} ight.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{4}+k\pi \ \sin 2x=-4\,\left( L ight) \end{array} ight.$ $\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi$. d) Nhận thấy $\cos x=0$ không là nghiệm của phương trình, nên chia hai vế PT cho $\cos^{3}x$ được: $2	an^{3}x-	an^{2}x+2	an x-1=0$ $\Leftrightarrow 	an x=\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow 	an x=	an\alpha \,\,\left( 	an\alpha =\frac{1}{2} ight)$ $\Leftrightarrow x=\alpha +k\pi$.

Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 33