Bài tập nâng cao · Bài 32
3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Nhận dạng: $a.\sin^{2} x+b\sin x\cos x+c.\cos^{2} x=d$ (1) $a.\cos^{2} x+b\sin x\cos x+c.\sin^{2} x=d$ B – Phương pháp làm Cách 1: + Nếu $\cos x=0\Rightarrow \sin^{2} x=1$ thì $a-d=0$ (1), nếu (1) đúng thì $\cos x=0$ là nghiệm của (1), ngược lại $\cos x\neq 0$. + Xét $\cos x\neq 0\Rightarrow \exists \tan x$. Chia hai vế của phương trình (1) cho $\cos^{2} x$, ta được: $(1)\Leftrightarrow a\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x }+b\frac{\sin x\cos x}{\cos^{2} x }+c\frac{\cos^{2} x}{\cos^{2} x }=d\frac{1}{\cos^{2} x } \\ \,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \left( a-d \right)\tan^{2} x+b\tan x+\left( c-d \right)=0$ Cách 2: Thay $\sin^{2} x=\frac{1}{2}\left( 1-\cos 2x \right)$, $\cos^{2} x=\frac{1}{2}\left( 1+\cos 2x \right)$, $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ ta được phương trình bậc nhất với $\sin 2x$ và $\cos 2x$.
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 32
1. $\cos^{2}x-\sqrt{3}\sin 2x=1+\sin^{2}x$ (*)
2. $\cos^{3}x-4\sin^{3}x-3\cos x\sin^{2}x+\sin x=0$ (*)
3. $3\cos^{4}x-4\sin^{2}x\cos^{2}x+\sin^{4}x=0$ (*)
Xem lời giải
Lời giải
Do $\cos x=0$ không là nghiệm của (*) nên chia hai vế (*) cho $\cos^{2}x\neq 0$
(*) $\Leftrightarrow \frac{\cos^{2}x}{\cos^{2}x}-\frac{2\sqrt{3}\sin x\cos x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}+\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1-2\sqrt{3}\tan x=1+\tan^{2}x+\tan^{2}x \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=\tan x \\ 2t^{2}+2\sqrt{3}t=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t=\tan x \\ t=0\vee t=-\sqrt{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \tan x=0 \\ \tan x=-\sqrt{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=k\pi \\ x=-\frac{\pi}{3}+l\pi \end{array} \right.\left( k,\,\,l\in\mathbb{Z} \right) \end{array}$
2. Khi $x=\frac{\pi}{2}+k\pi ,\,\,k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \cos x=0\wedge \sin x=\pm 1\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.
Do $\cos x=0$ không là nghiệm của (*) nên chia hai vế (*) cho $\cos^{3}x\neq 0$, ta được:
(*) $\Leftrightarrow \frac{\cos^{3}x}{\cos^{3}x}-4\frac{\sin^{3}x}{\cos^{3}x}-\frac{3\cos x\sin^{2}x}{\cos^{3}x}+\frac{\sin x}{\cos x}.\frac{1}{\cos^{2}x}=0$
$\Leftrightarrow 1-4\tan^{3}x-3\tan^{2}x+\tan x\left( 1+\tan^{2}x \right)=0$
$\Leftrightarrow 3\tan^{3}x+3\tan^{2}x-\tan x-1=0$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\tan^{2}x\left( \tan x+1 \right)-\left( \tan x+1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow \left( \tan x+1 \right)\left( 3\tan^{2}x-1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=-1 \\ \tan x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\frac{\pi}{4}+k\pi \\ x=\pm\frac{\pi}{6}+l\pi \end{array} \right.\left( k,\,\,l\in\mathbb{Z} \right) \end{array}$
3. Khi $x=\frac{\pi}{2}+k\pi ,\,\,k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \cos x=0\wedge \sin x=\pm 1\Rightarrow$ phương trình vô nghiệm.
Do $\cos x=0$ không là nghiệm của (*) nên chia hai vế (*) cho $\cos^{4}x\neq 0$, ta được:
(*) $\Leftrightarrow 3-4\tan^{2}x+\tan^{4}x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan^{2}x=1 \\ \tan^{2}x=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=\pm 1 \\ \tan x=\pm\sqrt{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\pm\frac{\pi}{4}+k\pi \\ x=\pm\frac{\pi}{3}+k\pi \end{array} \right.\left( k,\,\,l\in\mathbb{Z} \right)$