Bài tập nâng cao · Bài 31
3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Nhận dạng: $a.\sin^{2} x+b\sin x\cos x+c.\cos^{2} x=d$ (1) $a.\cos^{2} x+b\sin x\cos x+c.\sin^{2} x=d$ B – Phương pháp làm Cách 1: + Nếu $\cos x=0\Rightarrow \sin^{2} x=1$ thì $a-d=0$ (1), nếu (1) đúng thì $\cos x=0$ là nghiệm của (1), ngược lại $\cos x\neq 0$. + Xét $\cos x\neq 0\Rightarrow \exists \tan x$. Chia hai vế của phương trình (1) cho $\cos^{2} x$, ta được: $(1)\Leftrightarrow a\frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x }+b\frac{\sin x\cos x}{\cos^{2} x }+c\frac{\cos^{2} x}{\cos^{2} x }=d\frac{1}{\cos^{2} x } \\ \,\,\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \left( a-d \right)\tan^{2} x+b\tan x+\left( c-d \right)=0$ Cách 2: Thay $\sin^{2} x=\frac{1}{2}\left( 1-\cos 2x \right)$, $\cos^{2} x=\frac{1}{2}\left( 1+\cos 2x \right)$, $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$ ta được phương trình bậc nhất với $\sin 2x$ và $\cos 2x$.
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 31
1. $\sin x+\cos 2x+2\cos^{2}x=0$
2. $\sin^{2}x-3\sin x\cos x+1=0$
3. $8\cos^{3}\left( x+\frac{\pi}{3} \right)=\cos 3x$
Xem lời giải
Lời giải
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin x+1-2\sin^{2}x+2\left( 1-\sin^{2}x \right)=0 \\ \Leftrightarrow -4\sin^{2}x+\sin x+3=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=1 \\ \sin x=-\frac{3}{4}=\sin\alpha \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{2}+k2\pi \\ x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array} \right.\left( k\in\mathbb{Z} \right) \end{array}$
2. $\sin^{2}x-3\sin x\cos x+1=0$
Nhận thấy $\cos x=0$ không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho $\cos^{2}x$ ta được:
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \tan^{2}x-3\tan x+\left( \tan^{2}x+1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow 2\tan^{2}x-3\tan x+1=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=1 \\ \tan x=\frac{1}{2}=\tan\alpha \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{4}+k\pi \\ x=\alpha +k\pi \end{array} \right.\left( k\in\mathbb{Z} \right) \end{array}$
3. $8\cos^{3}\left( x+\frac{\pi}{3} \right)=\cos 3x$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\left[ \cos\left( 3x+\pi \right)+3\cos\left( x+\frac{\pi}{3} \right) \right]=\cos 3x \\ \Leftrightarrow -2\cos 3x+6\cos\left( x+\frac{\pi}{3} \right)=\cos 3x \\ \Leftrightarrow 2\cos\left( x+\frac{\pi}{3} \right)=\cos 3x \\ \Leftrightarrow \cos x-\sqrt{3}\sin x=4\cos^{3}x-3\cos x \\ \Leftrightarrow 4\cos^{3}x+\sqrt{3}\sin x-4\cos x=0 \end{array}$
Nhận thấy $\cos x=0$ không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho $\cos^{3}x$ ta được:
$\begin{array}{l} 4+\sqrt{3}\frac{\tan x}{\cos^{2}x}-\frac{4}{\cos^{2}x}=0 \\ \Leftrightarrow 4+\sqrt{3}\tan x\left( \tan^{2}x+1 \right)-4\left( \tan^{2}x+1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow \sqrt{3}\tan^{3}x-4\tan^{2}x+\sqrt{3}\tan x=0 \\ \Leftrightarrow \left( \sqrt{3}\tan^{2}x-4\tan x+\sqrt{3} \right)\tan x=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \tan x=0 \\ \tan x=\sqrt{3} \\ \tan x=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\pi \\ x=\frac{\pi}{3}+k\pi \\ x=\frac{\pi}{6}+k\pi \end{array} \right.\left( k\in\mathbb{Z} \right) \end{array}$