Có bao nhiêu số nguyên $ x $ để mệnh đề chứa biến $ P\left ( { x } \right ):''\left ( { 2x ^ { 3 } -x ^ { 2 } +3x+1 } \right )\vdots \left ( { x+1 } \right )'' $ đúng.

Với $ x≠-1 $ ta có $ \frac { 2x ^ { 3 } -x ^ { 2 } +3x+1 } { x+1 }=2x ^ { 2 } -3x+6-\frac { 5 } { x+1 } $. $ \left ( { 2x ^ { 3 } -x ^ { 2 } +3x+1 } \right )\vdots \left ( { x+1 } \right )⇒\frac { 5 } { x+1 }∈\mathbb{Z}⇒x+1∈\left\{±1; ±5\right\} $ $ ⇒\left[ \begin{array}{l} x+1=-1 \\ x+1=1 \\ x+1=-5 \\ x+1=5 \end{array} \right.⇒\left[ \begin{array}{l} x=-2 \\ x=0 \\ x=-6 \\ x=4 \end{array} \right. $. Thử lại đúng. Vậy có $ 4 $ giá trị $ x $ nguyên thỏa mãn bài toán.