Bài tập nâng cao · Bài 51
5. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Cùng với phương pháp biến đổi trực tiếp về PT cơ bản hoặc các PT thường thặp ( PT cơ bản, PT thuần nhất đối với 1 hàm số lượng giác, đẳng cấp, đối xứng, bậc nhất đối với $\sin x, \cos x$ thì các bài toán sử dụng các phép biến đổi lượng giác để đưa về PT dạng tích là các bài toán thường xuyên xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh gần đây Một số điểm chú ý - Các biểu thức $1+\sin 2x$; $\cos 2x$; $1+\tan x$; $1+\cot x$; $\sin^{3} x+\cos^{3} x$; $\cos^{4} x-\sin^{4} x$; $\cos 3x-\sin 3x$; $\tan x-\cot x$; $\sqrt{2}\sin \left( x+\frac{\pi}{4} \right)$ thường có nhân tử chung là: $\sin x+\cos x$. - Các biểu thức $1-\sin 2x$; $\cos 2x$; $1-\tan x$; $1-\cot x$; $\cos^{3} x-\sin^{3} x$; $\cos^{4} x-\sin^{4} x$; $\cos 3x-\sin 3x$; $\tan x-\cot x$; $\sqrt{2}\sin \left( x-\frac{\pi}{4} \right)$ thường có nhân tử chung là: $\sin x-\cos x$. - Các biểu thức $\sin^{3} x$; $\sin^{2} x$; $\tan^{2} x$ thường có nhân tử chung là $1-\cos x$ hoặc $1+\cos x$. - Các biểu thức $\cos^{3} x$; $\cos^{2} x$; $\cot^{2} x$ thường có nhân tử chung là $1-\sin x$ hoặc $1-\sin x$.
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 51
a) $\frac{\sin 3x}{3}=\frac{\sin 5x}{5}$
b) $\frac{\sin 5x}{5\sin x}=1$
Xem lời giải
Lời giải
$\Leftrightarrow 8\cos 4x.\sin\left( -x \right)+2\sin 4x.\cos x=0$ $\Leftrightarrow 4\cos 4x\sin x=\sin 4x\cos x$
$\Leftrightarrow 4\cos 4x.\sin x=2\sin 2x.\cos 2x.\cos x$ $\Leftrightarrow \cos 4x.\sin x=\sin x.\cos 2x.\cos^{2}x$
$\Leftrightarrow \sin x\left( 2\cos^{2}2x-1-\cos 2x.\frac{1}{2}\left( 1+\cos 2x \right) \right)=0$ $\Leftrightarrow \sin x\left( 3\cos^{2}2x-\cos 2x-2 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=0 \\ \cos 2x=1 \\ \cos 2x=-\frac{2}{3} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin x=0 \\ \cos 2x=-\frac{2}{3} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=k\pi \\ x=\pm\frac{1}{2}\arccos\left( -\frac{2}{3} \right)+k\pi \end{array} \right.,\ \left( k \in \mathbb{Z} \right)$
b) $\frac{\sin 5x}{5.\sin x}=1$. Điều kiện $\sin x\neq 0\Leftrightarrow x\neq k\pi,\ \left( k \in \mathbb{Z} \right)$
$\Leftrightarrow \sin 5x=5\sin x$ $\Leftrightarrow \sin 5x-\sin x=4\sin x$ $\Leftrightarrow 2\cos 3x.\sin 2x=4\sin x$ $\Leftrightarrow \sin x\left( \cos 3x.\cos x-1 \right)=0$
Do điều kiện nên $\cos 3x.\cos x=1\Leftrightarrow \left( 4\cos^{3}x-3\cos x \right).\cos x=1$
$\Leftrightarrow 4.\cos^{4}x-3\cos^{2}x-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos^{2}x=-\frac{1}{4}\ \left( L \right) \\ \cos^{2}x=1\ \left( L \right) \end{array} \right.$ $\Rightarrow$ Phương trình vô nghiệm